L'énoncé
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Question 1
On considère la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par \(u_{n +1}= 3 \times \dfrac{u_n}{4}\) et \(u_0=2\).
Cette suite est :
Géométrique de raison $0,75$.
Géométrique de raison $12$.
Arithmétique.
Non géométrique.
On peut calculer le quotient des deux nombres…
Connaissez-vous bien la définition d’une suite géométrique ?
Elles sont de la forme \(u_{n+1}=u_n \times q\) où \(q\) est la raison de la suite.
\(u_{n +1}= u_n \times \dfrac{3}{4}\)
\(u_{n +1}= u_n \times 0,75\)
C’est la définition d’une suite géométrique de raison $0,75$.
Question 2
On considère la suite strictement positive définie pour tout entier \(n\) par :
\(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = 2\) et \(u_0 = 1\)
Cette suite est :
Constante.
Géométrique.
Non arithmétique.
Géométrique de raison 2.
Peut-on effectuer un produit en croix ?
\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Leftrightarrow a \times d = b \times c\)
On peut facilement conclure en l'appliquant à l'expression donnée dans l'énoncé.
On a :
\(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = 2\).
On effectue un produit en croix :
\(u_{n+1} = 2 \times u_n\).
Ceci est la définition d’une suite géométrique de raison 2.
Elle n’est donc ni constante (la raison ne vaut pas 1) ni arithmétique.
Question 3
On considère la suite définie sur \( \mathbb{N}\) par \(u_n= -(-2)^n\). On a :
\((u_n)\) est géométrique.
\((u_n)\) n'est ni arithmétique ni géométrique.
\((u_n)\) est géométrique de raison $-2$.
\((u_n)\) est géométrique de premier terme $ -1$.
Calculer à la main ou à la calculatrice\( \dfrac{u_1}{u_0}\)
Calculer ensuite \( \dfrac{u_2}{u_1}\). Que remarque t-on ?
On peut enfin essayer d’écrire \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\).
On calcule à la main ou à la calculatrice\( \dfrac{u_1}{u_0} =-2\) puis \( \dfrac{u_2}{u_1} =-2\).
Il est possible que la suite soit géométrique de raison $-2$.
On a : \(u_{n+1} = -(-2)^{n+1}\).
Mettons à présent $-2$ en facteur dans cette expression.
\(u_{n+1} = (-2)\times \dfrac{-(-2)^{n+1}}{-2}\)
\(u_{n+1} = (-2)\times –(-2)^n\)
\(u_{n+1} = -2\times u_n\)
Il s'agit bien d'une suite géométrique de raison \(-2\) et de premier terme \(-1\).
Question 4
On considère la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par \(u_n= -3n^2\). On a :
\((u_n)\) n'est pas géométrique.
\((u_n)\) est géométrique.
\((u_n)\) est géométrique de raison $-3$.
\((u_n)\) est géométrique de premier terme $5$.
Calculer à la main ou à la calculatrice\( \dfrac{u_2}{u_1}\)
Calculer ensuite \( \dfrac{u_3}{u_2}\). Que remarque t-on ?
Il apparaît que et \( \dfrac{u_2}{u_1}=4\) et \( \dfrac{u_3}{u_2} = \dfrac{27}{12}\).
Ces rapports ne sont pas égaux donc \((u_n)\) n’est pas une suite géométrique.
Question 5
On considère la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par \(u_n= 5 \times 2^{2n} \) On a :
\((u_n)\) n'est pas géométrique.
\((u_n)\) est géométrique.
\((u_n)\) est géométrique de raison $2$.
\((u_n)\) est géométrique de raison $4$.
Calculer à la main ou à la calculatrice\( \dfrac{u_1}{u_0}\).
Calculer ensuite \( \dfrac{u_2}{u_1}\). Que remarque t-on?
On peut enfin essayer d’écrire \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\).
On calcule à la main ou à la calculatrice \(\dfrac{u_1}{u_0} =4\) puis \(\dfrac{u_2}{u_1}=4\).
Il est possible que la suite soit géométrique de raison 4. On a :
\(u_{n+1}= 5 \times 2^{2(n+1)}\)
\(u_{n+1}= 5 \times 2^{2n+2}\)
Mettons à présent $4$ en facteur dans cette expression.
\(u_{n+1}= 5 \times 2^{2n} \times 2^2\)
\(u_{n+1}= 4 \times 5 \times 2^{2n}\)
\(u_{n+1}= 4 \times u_n\)
On reconnait ici une suite géométrique de raison $4$ et de premier terme $5$.