Fiche de cours
Comportement asymptotique d'une suite géométrique
I) Inégalité de Bernoulli
Enoncé :
Pour tout réel $a$ positif,
Pour tout $n \in \mathbb{N}$,
$(1+a)^n \geq 1 +na$
Il convient de connaître la démonstration de cette inégalité à l'aide du principe de récurrence.
Démonstration :
Soit $a \in \mathbb{R}_+$,
Initialisation :
On vérifie si la propriété est vraie pour $n = 0$.
Pour $n = 0$, $1 + 0 \times a = 1$ et $(1+a)^0 = 1$ par définition.
Or $1 \geq 1$ donc $(1+a)^0 \geq 1 + 0 \times a$
La propriété est donc initialisée.
Hérédité :
Soit $n \in \mathbb{N}$,
On suppose que la propriété est vraie au rang $n$.
Cela signifie donc que $(1+a)^n \geq 1 + na$ (c'est l'hypothèse de récurrence).
Alors $(1 + a)^{n+1} \geq (1+a)(1+a)^n$.
Or on sait d'après l'hypothèse de récurrence que :
$(1+a)^n \geq 1 + na$ , c'est à dire :
$(1+a)(1+a)^n \geq (1+a)(1 + na)$ car $(1 + a) > 0$.
En outre,
$(1+a)(1 + na) = 1 + na + a + na^2 = 1 + (n+1)a + na^2$.
Or