L'énoncé
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.
Soit \((u_n)\) la suite définie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) par \(u_n = (-1)^n\)
Question 1
La suite \((u_n)\) est bornée.
Vrai : la suite \((u_n)\) est bien bornée, par $-1$ et $1$.
Une suite \(u_n\) est dite majorée s'il existe un réel \(M\) tel que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \leq M\).
Une suite \(u_n\) est dite minorée s'il existe un réel \(m\) tel que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \geq m\).
La suite \(u_n\) ne prend que deux valeurs, lesquelles ?
Question 2
La suite \(u_n\) converge.
Faux : la suite \((u_n)\) n'a pas de limite quand \(n\) tend vers \(\infty\). Il n'existe pas de rang à partir duquel les termes de la suite appartiendraient à un intervalle aussi petit que l'on souhaite. En effet, cet intervalle a pour étendue constante $2$.
Une suite est dite convergente lorsque \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n= l\)
Question 3
La suite de terme général \(\dfrac{u_n}{n}\) converge.
Vrai :
Ici, \(\dfrac{-1}{n} \leq \dfrac{(-1)^n}{n} \leq \dfrac{1}{n}\)
Avec : \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{-1}{n}= \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0\)
La suite de terme général \(\dfrac{u_n}{n}\) converge vers $0$, d'après le théorème des gendarmes.
Si pour tout \(n \geq n_0\), \(V_n \leq u_n \leq W_n\) et si \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} V_n= \displaystyle\lim_{n \to +\infty} W_n= l\)
Alors \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n= l\)
Ici, \(\dfrac{-1}{n} \leq \dfrac{(-1)^n}{n} \leq \dfrac{1}{n}\), or \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{-1}{n}= \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0\)
Le « théorème des gendarmes » ? ça vous dit quelque chose ?
Question 4
Toute suite \((v_n)\) à termes strictement positifs et décroissante converge vers 0.
Faux : une suite peut être à termes positifs (donc minorée) et décroissante, donc convergente, mais converger vers un autre nombre que $0$.
Par exemple, la suite de terme général \(u_n = 1+\dfrac{1}{n +1}\) est à termes positifs, décroissante et tend vers 1.
Que savez-vous sur les suites décroissantes et minorées ?
La règle à laquelle il est fait allusion dans l’astuce précédente est la suivante : « Toute suite décroissante et minorée par \(m\) converge vers un unique réel \(l\) avec \(l \geq m\) ». Mais cette règle ne dit justement pas que la limite est forcément le réel \(m\).
Pour prouver qu’une proposition est fausse, la meilleure façon est de trouver un contre-exemple.
Que pensez-vous de la suite : pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), \(V_n = 1 + \dfrac{1}{n}\) ?