Accède gratuitement à cette vidéo pendant 7 jours
Profite de ce cours et de tout le programme de ta classe avec l'essai gratuit de 7 jours !
Fiche de cours
Soit \(U_0 = 0\) et \(U_{n+1} = \sqrt{3U_n + 4}\).
1) Démontrer que \(U_n\) est majorée par 4.
Nous allons démontrer par un raisonnement par récurrence que \(U_n\) est majorée par 4.
- Étape 1 : Initialisation. On vérifie que la propriété est vraie au premier rang, ici \(U_0\).
- Étape 2 : Hérédité. On pose l'hypothèse que \(U_n\) est inférieure ou égale à 4.
- Étape 3 : On part de cette inégalité pour retrouver \(U_{n+1}\).
2) Démontrer que \(U_n\) est croissante.
Nous allons démontrer par un raisonnement par récurrence que \(U_n\) est croissante.
- Étape 4 : Initialisation. On calcule \(U_0\) et \(U_1\) pour vérifier que la suite est croissante aux premiers rangs.
- Étape 5 : Hérédité. On pose l'hypothèse qu'à un rang \(n\) la suite est croissante (\(U_n\) inférieure ou égale à \(U_{n+1}\).
- Étape 6 : On part de l'inégalité \(U_n \leq U_{n+1}\) pour retrouver \(U_{n+1}\) et \(U_{n+2}\).
3) La suite converge-t-elle ?
D'après le cours, une suite croissante et majorée converge.