L'énoncé
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Question 1
Cocher la forme indéterminée.
$+\infty \times (+\infty)$
$+\infty \times (-\infty)$
$+\infty \times 0$
$+\infty - (-\infty)$
Question 2
Cocher la forme indéterminée.
$\dfrac{0^+}{-\infty}$
$\dfrac{+\infty}{-\infty}$
Il y a quatre formes indéterminées à connaître :
$\infty \times 0$ ; $\infty -\infty$ ; $\dfrac{0}{0}$ et $\dfrac{\infty}{\infty}$
$\dfrac{+\infty}{0^-}$
$\dfrac{1}{0^+}$
Question 3
Est-ce une forme indéterminée et si oui de quelle forme ?
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} 2x^3-3x^2+5x+1$
Non
Oui, de la forme $\infty-\infty$
Le premier terme tend vers $+\infty$ et le second vers $-\infty$
Oui, de la forme $\infty\times 0$
Question 4
Est-ce une forme indéterminée et si oui de quelle forme ?
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} 2x^3-3x^2+5x+1$
Oui, de la forme $\infty\times 0$
Oui, de la forme $\infty -\infty$
Non
Chaque puissance de $x$x tend vers $- \infty$
Question 5
Est-ce une forme indéterminée et si oui de quelle forme ?
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{2x^3+3x^2+5x}$
Non
C'est de la forme $\dfrac{1}{\infty}$ qui tend vers $0$
Oui, de la forme $\dfrac{\infty}{\infty}$
Oui de la forme $\dfrac{0}{0}$
Question 6
Calculer : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} 2x^3-3x^2+5x+1$
$0$
$+\infty$
On factorise par le terme de plus haut degré pour lever l'indétermination :
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} 2x^3-3x^2+5x+1=\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^3\left(2-\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}\right)$
On vérifie alors que la parenthèse tend vers $2$ et on est face à une expression de la forme $+\infty \times 2$ qui tend vers $+\infty$
$-\infty$
Question 7
Comment lever l'indétermination pour calculer $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2+1}{1-x^2}$ ?
Multiplier par la quantité conjuguée
Reconnaître un nombre dérivé
Factoriser par $x-1$
Factoriser le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré
On utilise cette méthode lorsqu'on a une forme indéterminée du type $\dfrac{\infty}{\infty}$
Question 8
Calculer $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2+1}{1-x^2}$
$0$
$1$
$-1$
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2+1}{1-x^2}=\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2(1+\frac{1}{x^2})}{x^2(\frac{1}{x^2}-1)}$
On simplifie par $x^2$
Le numérateur tend vers $1$ et le dénominateur vers $-1$
Par quotient de limite $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2+1}{1-x^2}=-1$
$-\infty$
Question 9
Comment lever l'indétermination pour calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x-\sqrt{x^2+1}$ ?
On factorise par $x$
On utilise la quantité conjuguée.
Souvent utilisée avec les racines carrées et les formes du type $\infty -\infty$
On reconnait un nombre dérivé.
Question 10
Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x-\sqrt{x^2+1}$
$1$
$+\infty$
$-\infty$
$0$
En effet $ x-\sqrt{x^2+1}=\dfrac{(x-\sqrt{x^2+1})(x+\sqrt{x^2+1})}{x+\sqrt{x^2+1}}$
$ x-\sqrt{x^2+1}=\dfrac{x^2-(\sqrt{x^2+1})^2}{x+\sqrt{x^2+1}}$
$ x-\sqrt{x^2+1}=\dfrac{x^2-x^2-1}{x+\sqrt{x^2+1}}$
$ x-\sqrt{x^2+1}=\dfrac{-1}{x+\sqrt{x^2+1}}$
Il n'y a plus de forme indéterminée et
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x-\sqrt{x^2+1}=0$
Il y a quatre formes indéterminées à connaître :
$\infty \times 0$ ; $\infty -\infty$ ; $\dfrac{0}{0}$ et $\dfrac{\infty}{\infty}$