1) a) On a $\displaystyle\lim_{x  \to 0}\sqrt{x^2 +5}+x=\sqrt{5}$ et $f(0)=\sqrt{5}$.

On en déduit que $f$ est continue en zéro.

b) Forme indéterminée en $-\infty$: on multiplie par le conjugué de la fonction.  

$f(x)=\dfrac{\left(\sqrt{x^2 +5}+x\right)\left(\sqrt{x^2 +5}-x\right)}{\sqrt{x^2 +5}-x}$

$f(x)=\dfrac{x^2+5-x^2}{\sqrt{x^2 +5}-x}=\dfrac{5}{\sqrt{x^2 +5}-x}$    

D’où, par composition :  $\displaystyle\lim_{x  \to -\infty}\sqrt{x^2 +5}=+\infty$.

Et par somme :  $\displaystyle\lim_{x  \to -\infty}\sqrt{x^2 +5}-x=+\infty$.

Donc en passant au quotient : $\displaystyle\lim_{x  \to -\infty}f(x)=0$.

Au voisinage de $+\infty$, la limite est classique : $\displaystyle\lim_{x  \to +\infty}f(x)=+\infty$    

2) Soit $g$ la fonction définie sur  $\mathbb{R}-\{2\}$ par $g(t)=-6t^3+t^2-5$.

Déterminer la limite de cette fonction au voisinage de  $-\infty$ et $+\infty$.

On a : $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} g(x)=+\infty$  

Il y a en revanche une forme indéterminée au voisinage de $+\infty$ : nous allons factoriser par $t^3$

$g(t)=t^3\left(-6+\dfrac{7}{t}-\dfrac{5}{t^3}\right)$ 

D’où, par comparaison $\displaystyle\lim_{x  \to +\infty}g(t)=-\infty$

3) Soit $h$ la fonction définie par $h(x) =\dfrac{9x^2+1}{(x-1)^2}$.

Quel est le domaine de définition de cette fonction ?

$h$ est définie sur $\mathbb{R}-\{1\}$.

Déterminer les limites de $h$ en 1 et au voisinage de $+\infty$.

On a : $\displaystyle\lim_{x  \to 1}(x-1)^2=0^+$.

De plus : $\displaystyle\lim_{x  \to 1}{9x^2+1} = 10$.

En passant au quotient :  $\displaystyle\lim_{x  \to 1}\dfrac{9x^2+1}{(x-1)^2}=+\infty$.

Calculons $\displaystyle\lim_{x  \to +\infty}{\dfrac{9x^2+1}{(x-1)^2}}$.

La limite d'une fonction rationnelle au voisinage de $+\infty$ est celle du rapport de ses termes de plus haut degré donc :

$\displaystyle\lim_{x  \to +\infty}{\dfrac{9x^2+1}{(x-1)^2}}=\displaystyle\lim_{x  \to +\infty}{\dfrac{9x^2}{x^2}}=9$