L'énoncé
Les questions de cet exercice sont indépendantes les unes des autres. Pour chacune d'elles déterminer les limites.
Question 1
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\cos(x)+2x}{x+1}\)
On utilise un encadrement de \(\cos(x)\) : pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\) on a :\(-1 \leq \cos(x) \leq 1\)
Donc :
- en ajoutant \(2x\) à chaque membre : \(-1+2x \leq \cos(x) +2x \leq 1+2x\)
- en divisant par \(x+1\) (que l'on peut supposer positif car \(x\) tend vers \(+\infty\) donc devient positif) :
\(\dfrac{-1+2x}{x+1} \leq \dfrac{\cos(x)+2x}{x+1} \leq \dfrac{1+2x}{x+1}\)
On cherche maintenant la limite de chaque membre de l'inégalité :
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{-1+2x}{x+1} =\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{2x}{x} =\displaystyle\lim_{x \to +\infty} 2=2\)
De même on a :
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{1+2x}{x+1} =\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{2x}{x} =\displaystyle\lim_{x \to +\infty} 2 =2\)
D'après le théorème de gendarmes, on en conclut que : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{\cos(x)+2x}{x+1} = 2\)
Penser à un encadrement…
Grand classique : on a \(-1 \leq \cos( x) \leq1\) . En déduire un encadrement de l’écriture \(\frac{\cos(x)+2x}{x+1}\)
Chercher une encadrement de chaque membre de l’inégalité (utilise tes connaissances sur les fractions rationnelles).
Question 2
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(x)+x^2}{x+2}\)
On utilise un encadrement de \(\sin(x)\) : pour tout \(x \in\mathbb{R}\) on a \(-1 \leq \sin(x) \leq 1\) Donc :
- en ajoutant \(x^2\) à chaque membre : \(-1 + x^2 \leq \sin(x)+x^2 \leq 1+x^2\)
- En divisant par \(x+2\) (que l'on peut supposer positif car \(x\) tend vers \(+\infty\) donc devient positif) : \(\dfrac{-1+x^2}{x+2} \leq \dfrac{\sin(x)+x^2}{x+2} \leq \dfrac{1+x^2}{x+2}\)
On cherche maintenant la limite du premier membre de l'inégalité :
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{-1+x^2}{x+2} =\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x} =\displaystyle\lim_{x \to +\infty}x = +\infty\)
Et comme on sait que : \(\dfrac{-1+x^2}{x+2} \leq \dfrac{\sin(x)+x^2}{x+2}\)
D'après le théorème de comparaisons on obtient : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(x)+x^2}{x+2} = +\infty\)
Pourquoi ne pas essayer la même méthode qu’au n°1 : tout commence par un encadrement…
... Et se poursuit par un théorème de comparaison (il faut donc savoir trouver \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{-1+x^2}{x+2}\) : c’est une fraction rationnelle !)
Question 3
\(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x^2}\)
On utilise la formule du cours que l'on peut appliquer ici avec \(X = x^2\) puisque lorsque \(x\) tend vers 0, on a aussi \(X = x^2\) qui tend vers 0.
\(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x^2} =\displaystyle\lim_{X \to 0} \frac{\sin(X)}{X} =1\)
Cela ressemble à une limite du cours : laquelle ?
On a \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(X)}{X} =1\) et on essaie de voir si on peut remplacer.
Question 4
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x\sin\left(\frac{1}{x}\right)\)
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x\sin\left(\frac{1}{x}\right) =\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\frac{1}{x}}\sin\left(\frac{1}{x}\right)\)
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x\sin\left(\frac{1}{x}\right)=\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}\)
C'est la technique du changement de variable que l'on applique ici :
On remplace \(X\) par \(\dfrac{1}{x}\) et on remarque que lorsque \(x\) tend vers l'infini, on a \(X\) qui tend vers 0.
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x\sin\left(\frac{1}{x}\right)=\displaystyle\lim_{X \to 0} \frac{\sin(X)}{X} =1\)
Reprendre l’écriture \(x\sin\left(\frac{1}{x}\right)\) en posant : \(X = \frac{1}{x}\) quelle fraction obtient-on alors ?
Que se passe-t-il sur \(X\) si \(x\) tend vers \(+\infty\) ?
Question 5
On pose : \(f(x) = \dfrac{\sin(x)-1}{x-\frac{\pi}{2}}\)
Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}f(x)\)
Le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers 0 : on est en présence dune forme indéterminée (c'est « 0 sur 0 »).
On va utiliser un taux d'accroissement pour calculer cette limite :
Posons \(g(x) = \sin(x)\).
Alors \(g\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\)
Ainsi \(f(x)\) peut se mettre sous la forme du taux d'accroissement suivant :
\(f(x)=\dfrac{g(x)-g(\frac{\pi}{2})}{x-\frac{\pi}{2}}\)
Dans ce cas, comme \(g\) est dérivable en \(\dfrac{\pi}{2}\) on a :
\(\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{g(x)-g(\frac{\pi}{2})}{x-\frac{\pi}{2}} = g'\left(\frac{\pi}{2}\right)\)
Avec \(g'(x) =\cos(x)\) et donc \(g'(\frac{\pi}{2}) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\), il vient que :
\(\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin(x)-1}{x-\frac{\pi}{2}} =0\)
\(f(x)\) est une fraction : reconnais-tu une forme connue (rencontrée dans le chapitre sur la dérivation) ?
Poser \(g(x) = \sin(x)\), et reconnaître un quotient du type \(\frac{g(x)-g(a)}{x-a}\). Combien vaut \(a\) ici ? Quelle est la limite de cette écriture lorsque \(x\) tend vers \(a\) ?
Utiliser que \(\displaystyle\lim_{x \to a}\frac{g(x)-g(a)}{x-a} = g'(a)\), que l’on applique avec \(a=\frac{\pi}{2}\). Il ne reste plus que à calculer \(g'(\frac{\pi}{2})\).
Question 6
On pose : \(f(x) = \dfrac{2\cos(x)-1}{x-\frac{\pi}{3}}\)
Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} f(x)\)
Le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers 0 : on est en présence dune forme indéterminée (cest « 0 sur 0 »).
On va de nouveau utiliser un taux daccroissement pour calculer cette limite :
Comme on sait que \(\cos\frac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\) on a besoin de faire apparaître le \(\frac{1}{2}\) au numérateur : pour cela on factorise par 2.
\(f(x) = \dfrac{2\cos(x)-1}{x-\frac{\pi}{3}} = 2\times \dfrac{\cos(x)-\frac{1}{2}}{x-\frac{\pi}{3}}\)
Maintenant, on a le taux daccroissement :
Posons \(g(x) = \cos(x)\).
Alors \(g\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \cos (\frac{\pi}{3}) = \dfrac{1}{2}\)
Il apparait que \(f(x)\) peut se mettre sous la forme \(f(x)=2 \times \dfrac{g(x)-g(\frac{\pi}{3})}{x-\frac{\pi}{3}}\)
Comme \(g\) est dérivable en \(\dfrac{\pi}{3}\) on a :
\(\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \dfrac{g(x)-g(\frac{\pi}{3})}{x-\frac{\pi}{3}} = g'\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\) avec \(g'(x) = -\sin(x)\)
Ainsi : \(g'(\frac{\pi}{3}) = -\sin (\frac{\pi}{3}) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
Donc : \(\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \dfrac{2\cos(x)-1}{x-\frac{\pi}{3}} =\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} 2 \times \dfrac{\cos(x)-\frac{1}{2}}{x-\frac{\pi}{3}} =2 \times \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) =- \sqrt{3}\)
Conclusion : \(\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{3}}f(x) = -\sqrt{3}\)
On peut faire apparaître un taux de variations \(\dfrac{g(x)-g(a)}{x-a}\), mais il faut commencer par factoriser par 2 le numérateur.
On a ici \(g(x) = \cos(x)\) et \(a = \dfrac{\pi}{3}\). Reste à calculer \(g'(\frac{\pi}{3})\).
Avez-vous obtenu que \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{\cos(x)-\frac{1}{2}}{x-\frac{\pi}{3}} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ? Il ne manque pas grand chose pour arriver à la limite de \(f\)…