L'énoncé
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Question 1
Quelle est sur \(\mathbb{R}\) la dérivée de la fonction définie par \(f(x) = 3x^2-7x + 5\) ?
\(f'(x) = 2x - 1\)
\(f'(x) = 2x - 7\)
\(f'(x) = 6x\)
\(f'(x) = 6x-7\)
\(f\) est-elle une somme de fonctions ? Un produit ?
Quelle est la dérivée de \( x \mapsto x^2\) ? et de \( x \mapsto 3x^2\) et de \( x \mapsto -7x + 5\) ?
La dérivée sur \(\mathbb{R}\) de la fonction \( x \mapsto x^2\) est la fonction \( x \mapsto 2x\) donc :
la dérivée sur \(\mathbb{R}\) de la fonction \( x \mapsto 3x^2\) est la fonction \( x \mapsto 6x\).
La dérivée sur \(\mathbb{R}\) de la fonction \( x \mapsto - 7x + 5 \) est la fonction \( x \mapsto- 7\).
Par somme la dérivée de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) est \(f’(x)= 6x - 7 \).
Question 2
Quelle est sur \( ]0 ; +\infty[\) la dérivée de la fonction définie par \(f(x) = 5\sqrt x + \large\frac{2x+4}{5}\) ?
\( f’(x)= \large\frac{5}{2\sqrt x}+ \frac{2}{5}\)
\( f’(x)=\large \frac{5}{2\sqrt x}+ \frac{2}{5} \normalsize+4\)
\( f’(x)=\large \frac{5}{\sqrt x}+ \frac{2}{5}\)
\( f’(x)=\large \frac{5}{\sqrt x}\normalsize+ 4\)
\(f(x) = 5\sqrt x + \large \frac{2x}{5}+ \dfrac{4}{5}\)
Quelle est la dérivée sur\( ]0 ; +\infty[\) de \(x\mapsto \sqrt x\) ? Et de \(x\mapsto 5\sqrt x\) ?
La fonction \(x\mapsto \large \frac{2x}{5} + \dfrac{4}{5}\) est une fonction affine.
Sur \(]0 ; +\infty[\), la dérivée de \(x\mapsto \sqrt x\) est \(x\mapsto \large \frac{1}{2\sqrt x}\) donc la dérivée de \(x\mapsto 5\sqrt x\) est \(x\mapsto \large \frac{5}{2\sqrt x}\)
Sur \(]0 ; +\infty[\) la fonction \(x\mapsto \large\frac{2x}{5} + \frac{4}{5}\) qui est une fonction affine, a pour dérivée la fonction \(x\mapsto \large\frac{2}{5}\)
Par somme la dérivée de f sur \(]0 ; +\infty[\) est \( f’(x)=\large \frac{5}{2\sqrt x}+ \frac{2}{5}\)
Question 3
Quelle est sur \(\mathbb{R}\) la dérivée de la fonction définie par \(f(x) = (4x + 1)(5 + 2x)\) ?
\(f’(x)= 8\)
\(f’(x)= 18\)
\(f’(x)= 16x + 22\)
\(f’(x)= 8x^2\)
Est-ce une somme, un produit ?
Le produit de quelle fonction par quelle fonction ?
Quelle est la formule associée ?
\(f = u\times v\) avec \(u(x) = 4x + 1\) et \(v(x) = 5+2x\)
Ainsi : \(u’(x) = 4\) et \(v’(x) = 2\)
\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f' = u'v + uv'\) donc :
Pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\),
\(f’(x)= 4(5+2x) + 2(4x+1)\)
\(f’(x)= 20 + 8x + 8x + 2\)
\(f’(x)= 16x + 22\)
Question 4
Quelle est sur \(\mathbb{R}- \{\frac{-5}{2}\}\) la dérivée de la fonction définie par \(g(x) = \dfrac{1}{2x+5}\) ?
\(g '(x) =\dfrac{-2}{(2x+5)^2}\)
\(g '(x) = \dfrac{2}{(2x+5)^2}\)
\(g '(x) =\dfrac{-1}{(2x+5)^2}\)
\(g '(x) =\dfrac{1}{(2x+5)^2}\)
Est-ce une somme, un produit, un inverse ?
L'inverse de quelle fonction ?
Quelle est la formule associée ?
\(g = \dfrac{1}{v}\) avec \(v(x) = 2x + 5\) et \(v'(x) = 2\)
\(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}- \{\frac{-5}{2}\}\) et \(g ' = \dfrac{-v}{v^2}\)
Donc, pour tout x de \(\mathbb{R}- \{\frac{-5}{2}\}\)
\(g '(x) =\dfrac{-2 }{(2x+5)^2}\)
Question 5
Quelle est sur \(\mathbb{R}- \{\frac{-1}{3}\}\) la dérivée de la fonction définie par \(h(x) = \dfrac{2x+3}{3x+1}\) ?
\(h'(x) =\dfrac{-7 }{(3x+1)^2}\)
\(h'(x) = \dfrac{11 }{(3x+1)^2}\)
\(h'(x) =\dfrac{7 }{(3x+1)^2}\)
\(h'(x) =\dfrac{2 }{3}\)
Est-ce une somme, un produit, un inverse, un quotient ?
Le quotient de quelles fonctions ?
Quelle est la formule associée ?
\(h = \dfrac{u}{v}\) avec \(u(x) = 2x + 3\) et \(v(x) = 3x+1\)
Ainsi : \(u’(x) = 2\) et \(v’(x) = 3\)
\(h\) est dérivable sur \(\mathbb{R}- \{\frac{-1}{3}\}\) et \(h ' =\dfrac{u'v - uv'}{v^2}\)
Donc, pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}- \{\frac{-1}{3}\}\),
\(h '(x) = \dfrac{2(3x+1) – 3(2x+3)}{(3x+1)^2}\)
\(h '(x) =\dfrac{6x+2 – 6x - 9}{(3x+1)^2}\)
\(h '(x) =\dfrac {– 7}{(3x+1)^2}\)