L'énoncé
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Question 1
Soient \(A\) et \(B\) deux événements incompatibles ; alors :
\(p(A \cup B) = p(A) \times p(B)\)
\(p(A) = 1- p(B)\)
\(A \cap B = ø\)
On ne peut pas savoir.
Deux événements sont incompatibles lorsqu'ils n'ont aucune issue en commun.
Deux événements sont incompatibles lorsque leur intersection est vide : \(p(A \cap B) = 0\).
Question 2
Soit \(B\) l'événement contraire d'un événement \(A\) ; alors :
\(p(A) = p(B) = 0\)
\(p(A) = 1 - p(B)\)
\(p(A \cap B)= p(A) + p(B)\)
On ne peut pas savoir.
\(B = \overline{A}\)
\(p(A) = 1 - p (\overline{A})\) donc ...
Question 3
Si \(p\) désigne une probabilité alors une valeur possible de \(p\) est :
\(p = 1,35\)
\(p = 0,45\)
\(p =- 0,45\)
On ne peut pas savoir.
Une probabilité est un nombre réel compris entre …
Question 4
\(A\) et \(B\) sont deux événements tels que :
\(p(A) = 0,7\)
\(p(B) = 0,1\) et
\(p(A \cap B) = 0,05\).
Alors :
\(p(A \cup B) = 0,85\)
\(p(A \cup B) = 0,80\)
\(p(A \cup B) = 0,75\)
En effet, on a \(p(A \cup B) = p(A)+p(B)-p(A \cap B) = 0,7 +0,1-0,05 = 0,75\)
Cela est impossible.
D'après le cours, quelle est la formule de \(p(A \cup B)\) ?
Question 5
\(A\) et \(B\) sont deux événements tels que :
\(p(A) = 0,6\) ;
\(p(\overline{B})= 0,7\) et
\(p(A \cup B) = 0,8\).
Alors :
\(p(A \cap B) = 0,1\)
En effet :
\(p(A \cup B) = p(A)+p(B) - p(A \cap B)\).
On sait aussi que \(p(\overline{B}) = 1 - p(B)\) donc on a :
\( 0,8=0,6+(1- 0 ,7) – p(A \cap B)\) soit :
\(0,8=0,6+0,3 - p(A \cap B)\).
Donc : \(p(A \cap B) = 0,1\)
\(p(A \cap B) = 0,5\)
\(p(A \cap B) = 0,2\)
Le calcul est impossible.
D'après le cours, quelle est la formule de \(p(A \cup B)\) ?
En déduire la formule de \(p(A \cap B)\) ?
On sait que \(p(\overline{B}) = 0,7\) donc que vaut \(p(B)\) ?
Question 6
Une expérience aléatoire possède trois issues équiprobables : {a ; b ; c}. On a alors :
\(p(\{a\}) = p(\{b\}) = p(\{c\}) = 0\)
\( p(\{b ; c\}) = \dfrac{2}{3}\)
Il y a équiprobabilité donc \(p(\{a\}) = p(\{b\}) = p(\{c\})= \dfrac{1}{3}\)
De plus, \(p(\{b ; c\}) = p(\{b\}) + p(\{c\})= \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\)
\(p(\{b ; c\}) = \dfrac{1}{3}\)
On ne peut pas savoir.
Définir la loi de probabilité sur l'univers ; c'est à dire compléter le tableau suivant :
La somme des probabilités doit être égale à 1.
Il y a équiprobabilité donc \(p(\{a\}) = p(\{b\}) = p(\{c\})\)
\(p(\{b ; c\}) = p(\{b\}) + p(\{c\})\)
Question 7
On choisit un jeton au hasard dans l'urne :
La loi de probabilité associée à cette expérience aléatoire est :
| issues | B | V | R |
| probabilité | 1/3 | 1/3 | 1/3 |
| issues | B | V | R |
| probabilité | 1/4 | 1/3 | 1/2 |
| issues | B | V | R |
| probabilité | 2/9 | 1/3 | 4/9 |
Il y a 9 billes au total.
La probabilité que la bille tirée soit bleue est \(\dfrac{2}{9}\).
La probabilité que la bille tirée soit verte est \(\dfrac{3}{9}\) : on simplifie, et on obtient \(\dfrac{1}{9}\). La probabilité que la bille tirée soit rouge est \(\dfrac{4}{9}\).
Donc on bien le tableau (c).
On ne peut pas savoir.
Combien y a t-il de billes ?
Y a-t-il autant de billes de chaque couleur ? De même numéro ? Y a-t-il équiprobabilité ?
Question 8
On lance 50 fois de suite un dé. Le numéro 4 apparaît 12 fois.
Quelle est la fréquence d'apparition du 4 ?
0,12
0,4
0,24
La fréquence d’apparition du 4 est égale à \(\dfrac{12}{50} = 0,24\)
0,024
Quel est le nombre total de lancés ?
Sur ces 50 lancers, combien de fois apparaît le 4 ?
Question 9
On choisit au hasard un nombre entier entre 20 et 40 (inclus) ; on considère les événements suivants :
A : "le nombre est un multiple de 3".
B : "le nombre est un multiple de 2".
On a alors :
\(A \cup B = \{20 ; 21 ; 22 ; 26 ; 27 ; 28 ; 32 ; 33 ; 34 ; 38 ; 39 ; 40\}\)
\(A \cap B = \{24 ; 30 ; 36\}\)
\(A\) et \(B\) sont incompatibles.
Aucune des réponses proposées n'est juste.
Quelles sont les issues de \(A\) ?
\(A = \{21 ; 24 ; 27 ; 30 …\}\)
Quelles sont les issues de \(B\) ?
\(B = \{20 ; 22 ; 24 ; 26 …\}\)
Les issues de \(A \cap B\) sont tous les nombres qui sont à la fois dans \(A\) ET dans \(B\) donc \(A \cap B = \{24 ; …\}\)
Question 10
On choisit au hasard un nombre entier entre 1 et 8. On considère les événements suivants :
A : "le nombre choisi est pair".
B : "le nombre choisi est inférieur ou égal à 4".
On peut alors affirmer que :
\(p(A \cup B) = 1\)
\(p(A) < p(\overline{A})\)
\(p(A \cap B) = \dfrac{1}{4}\)
Les issues de \(A\) sont 2, 4, 6 et 8.
Celles de \(B\) sont 1, 2, 3 et 4.
On a alors que \(A \cap B = \{2;4\}\).
Alors \(p(A \cap B) = \dfrac{2}{8}= \dfrac{1}{4}\)
\(p(B) = \dfrac{1}{3}\)
Quelles sont les issues de \(A\) ?
\(A = \{2 ; 4 ; …\}\)
Celles de \(\overline{A}\) ?
En déduire \(p(A)\) et \(p(\overline{A})\).
Quelles sont les issues de \(B\) ?
\(B = \{1 ; 2 ; …\}\)
Celles de \(A \cup B\) ?
En déduire \(p(A \cup B)\).
Quelles sont les issues de \(A \cap B\) ?
En déduire \(p(A \cap B)\).
Une probabilité est un nombre réel toujours compris entre 0 et 1.