L'énoncé
Exercice : Algorithme et programme de calcul
On choisit un programme de calcul :
- On choisit un nombre ;
- On lui ajoute 3 ;
- On élève le résultat au carré ;
- On retranche 25 au résultat obtenu.
Question 1
Appliquez ce programme de calcul au nombre 2. Quel nombre obtient-on ?
Le résultat est \(0\). En effet :
- On choisit un nombre : \(2\)
- On lui ajoute \(3\) :
\(2+3 = 5\) - On élève le résultat au carré : \(5^2 = 25\)
- On retranche 25 au résultat obtenu : \(25-25 = 0\)
C’est un algorithme. Besoin d’un rappel ? Allez voir la vidéo dans les prérequis.
Appelez \(n\) le premier nombre et suivez les étapes une à une.
Question 2
On appelle \(n\) le nombre auquel on applique le programme de calcul précédent.
Exprimez en fonction de \(n\), le résultat \(d\) de ce programme de calcul.
- On choisit un nombre ; \(n\)
- On lui ajoute \(3\) : \(n+3\)
- On élève le résultat au carré : \((n + 3)^2\)
- On retranche 25 au résultat obtenu : \((n + 3)^2 - 25\).
L'expression est donc : \(d = (n + 3)^2 - 25\).
On vérifie que \(d = 0\) lorsque \(n = 2\).
- Complétez :
- - On choisit un nombre ; Choisissez le nombre \(n\).
- - On lui ajoute \(3 ; n+…\)
- - On élève le résultat au carré ; …
- - On retranche \(25\) au résultat obtenu…
Question 3
On donne l'expression suivante \(P(n) = (n + 3)^2-25\).
Résoudre l'équation \(P(n) = 0\).
\((n + 3)^2 - 25 = 0\).
\((n + 3)^2 - 5^2 = 0\)
\((n-2)(n+8) = 0\)
Ce produit est nul si et seulement si :
\(n-2 = 0\) ou \(n+8 = 0\).
Les solutions sont donc : \(S = \{-8 ; 2\}\)
Commencez par factoriser \(P(n)\).
25 est le carré de 5
Faites apparaître une égalité remarquable.
Résolvez à présent l’équation produit.