L'énoncé
Répondre aux questions suivantes.
Question 1
On considère les points $A(0;0) , B(1;1)$ et $M(-3;-3)$. Les points $A,B$ et $M$ sont-ils alignés ?
Premièrement, on calcule les coordonnées des vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AB}$.
On a $\vec{AM}(-3;-3)$ et $\vec{AB}(2;2)$.
En calculant le déterminant de ces deux vecteurs, on a :
$det(\vec{AM};\vec{AB})=-3\times 2 - (-3 \times 2)$
$det(\vec{AM};\vec{AB})=6-6=0$
Autrement dit les vecteurs $\vec{AM}(-3;-3)$ et $\vec{AB}(2;2)$ sont colinéaires, et donc les points $A,B$ et $M$ sont alignés.
Utiliser le déterminant de deux vecteurs bien choisis.
Question 2
Soit un point $A(2;3)$ et une droite $d$ passant par $A$, avec un vecteur directeur $\vec{u}(-1;4)$.
Donner l'équation cartésienne de la droite $d$.
Soit $M(x;y)$ un point de $d$.
Les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires, par conséquent leur déterminant est nul.
On a :
$M \in d \iff \text{det} (\vec{AM};\vec{u})=0$
Ce qui donne :
$4(x-2)-(y-3)(-1)=0$
Autrement dit :
$4x+y-11=0$ ou $y=-4x+11$
Ceci est l'équation de la droite $d$.
Il faut utiliser le déterminant.
Question 3
On considère les points $A(1;0) , B(2;1)$ et $M(3;2)$. Les points $A,B$ et $M$ sont-ils alignés ?
Premièrement, on calcule les coordonnées des vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AB}$.
On a $\vec{AM}(2;2)$ et $\vec{AB}(1;1)$.
On remarque que $\vec{AM}=2 \vec{AB}$
Autrement dit les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AB}$ sont colinéaires, et donc les points $A,B$ et $M$ sont alignés.
Utiliser le déterminant.
Question 4
On considère $A(1;1)$ et $B(5;5)$. Déterminer l'équation cartésienne de la droite $(AB)$.
Soit $M(x;y)$ un point de $(AB)$
$M\in (AB)$ si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AM}$ sont colinéaires.
Or $\vec{AB}(4;4)$ et $\vec{AM}(x-1;y-1)$
On a donc $M\in (AB) \iff \text{det}(\vec{AB};\vec{AM})=0$
$\iff 4(x-1)-4(y-1)=0$
$\iff y=x$
Utiliser le déterminant de deux vecteurs correctement choisis.
Question 5
On considère les points $A(5;1) , B(10;2)$ et $M(15;3)$. Les points $A,B$ et $M$ sont-ils alignés ?
Premièrement, on calcule les coordonnées des vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AB}$.
On a $\vec{AM}(10;2)$ et $\vec{AB}(5;1)$.
En appliquant le déterminant, on a :
$det(\vec{AM};\vec{AB})=10-10=0$
On peut aussi remarquer que $\vec{AM}=2\vec{AB}$
Autrement dit les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AB}$ sont colinéaires, et donc les points $A,B$ et $M$ sont alignés.
Utiliser le déterminant.