L'énoncé
Cet exercice est un QCM. Cocher la ou les réponses justes
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Question 1
Une variable aléatoire \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B} (5 ; \frac{1}{4})\).
La probabilité d'obtenir au moins un succès est :
\( p(X=1) + p(X=2) + p(X=3) + p(X=4)\)
\(p(X \geq 1)\)
\(\left(\dfrac{3}{4}\right)^5\)
\(1 –\left(\dfrac{3}{4}\right)^5\)
Les valeurs de \(X\) (= nombre de succès) peuvent être 1, 2, 3, 4 ou 5.
\(p(X \geq 1)=1 - p(X=0)\)
Calcule \(p(X=0).\)
On a \(\begin{pmatrix}5\\0 \end{pmatrix} = 1 \)
\(p(X \geq 1)=1 - p(X=0)\)
Calcule \(p(X=0).\)
On a \(\begin{pmatrix}5\\0 \end{pmatrix} = 1 \)
« au moins un succès » signifie que \(X \geq 1. \)
\(p(X \geq 1)= p(X=1) + p(X=2)+p(X=3)+ p(X=4)+p(X=5) \)
\( p(X \geq 1) =1 – p(X=0)\) Proposition 1 fausse et 2 vraie.
Il faut calculer \(p(X=0) :\)
\(p(X=0) = \begin{pmatrix}5\\0 \end{pmatrix} \times p^0 \times (1-p)^5 \)
\(p(X=0) = \begin{pmatrix}5\\0 \end{pmatrix} \times (\frac{1}{4})^0 \times (\frac{3}{4})^5\)
\(p(X=0) = \begin{pmatrix}5\\0 \end{pmatrix} \times (\frac{3}{4})^5\)
On a \(\begin{pmatrix}5\\0 \end{pmatrix} = 1 \)
\(p(X=0)= (\frac{3}{4})^5 \)
\(p(X \geq 1)=1 - (\frac{3}{4})^5 \) Proposition 4 vraie.
Retiens que : \(p(X \geq 1)= 1- p(X=0)\) c’est souvent utile dans les exercices !
\(p(X \geq 1)= p(X=1) + p(X=2)+p(X=3)+ p(X=4)+p(X=5) \)
\( p(X \geq 1) =1 – p(X=0)\) Proposition 1 fausse et 2 vraie.
Il faut calculer \(p(X=0) :\)
\(p(X=0) = \begin{pmatrix}5\\0 \end{pmatrix} \times p^0 \times (1-p)^5 \)
\(p(X=0) = \begin{pmatrix}5\\0 \end{pmatrix} \times (\frac{1}{4})^0 \times (\frac{3}{4})^5\)
\(p(X=0) = \begin{pmatrix}5\\0 \end{pmatrix} \times (\frac{3}{4})^5\)
On a \(\begin{pmatrix}5\\0 \end{pmatrix} = 1 \)
\(p(X=0)= (\frac{3}{4})^5 \)
\(p(X \geq 1)=1 - (\frac{3}{4})^5 \) Proposition 4 vraie.
Retiens que : \(p(X \geq 1)= 1- p(X=0)\) c’est souvent utile dans les exercices !
Question 2
On lance $10$ fois de suite une pièce bien équilibrée et on note \(X\) le nombre de fois où on a obtenu PILE.
\(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n=10\) et \(p=\dfrac{1}{10}\).
\(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n=10\) et \(p=\dfrac{1}{2}\).
La probabilité d’obtenir 1 fois PILE est \(\dfrac{1}{10} \times \dfrac{1}{2}\).
La probabilité d’obtenir 1 fois PILE est \(10 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{10}\).
On répète 10 fois la même expérience, donc \(n=\ ?\)
On a \(n=10\) (nombre de répétitions). Lorsqu’on lance UNE fois la pièce, on peut définir le succès (\(S\) = obtenir PILE) et l’échec ( \(\bar S\) = obtenir FACE) : \(p\) est la probabilité du succès : combien vaut-elle ?
\(p=p(S)=\frac{1}{2}\)
La probabilité d’obtenir 1 fois PILE est : \(p(X=1).\)
\(\begin{pmatrix}10\\1\end{pmatrix} = 10\)
On a \(n=10\) (nombre de répétitions). Lorsqu’on lance UNE fois la pièce, on peut définir le succès (\(S\) = obtenir PILE) et l’échec ( \(\bar S\) = obtenir FACE) : \(p\) est la probabilité du succès : combien vaut-elle ?
\(p=p(S)=\frac{1}{2}\)
La probabilité d’obtenir 1 fois PILE est : \(p(X=1).\)
\(\begin{pmatrix}10\\1\end{pmatrix} = 10\)
L’expérience de Bernoulli consiste à lancer UNE fois la pièce, on a bien deux issues : le succès (\(S\) = obtenir PILE) et l’échec ( \(\bar S\) = obtenir FACE) : \(p = \frac{1}{2}\).
On répète cette expérience 10 fois de manière indépendante (un lancé n’influence pas l’autre) : \(n=10\).
Donc : \(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n=10\) et \(p = \frac{1}{2}\). Proposition 2 vraie (et 1 fausse).
La probabilité d’obtenir 1 fois PILE est :
\(p(X=1) = \begin{pmatrix}10\\1\end{pmatrix} \times p^1 \times(1-p)^9 \)
\(p(X=1) = \begin{pmatrix}10\\1\end{pmatrix} \times (\frac{1}{2})^1 \times (\frac{1}{2})^9 \)
\(p(X=1) = \begin{pmatrix}10\\1\end{pmatrix} \times (\frac{1}{2})^{10}\)
On a \( \begin{pmatrix}10\\1\end{pmatrix} = 10 \)
Donc : \( p(X=1)= 10 \times (\frac{1}{2})^{10} \) Proposition 4 vraie (et 3 fausse).
Tu d
On répète cette expérience 10 fois de manière indépendante (un lancé n’influence pas l’autre) : \(n=10\).
Donc : \(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n=10\) et \(p = \frac{1}{2}\). Proposition 2 vraie (et 1 fausse).
La probabilité d’obtenir 1 fois PILE est :
\(p(X=1) = \begin{pmatrix}10\\1\end{pmatrix} \times p^1 \times(1-p)^9 \)
\(p(X=1) = \begin{pmatrix}10\\1\end{pmatrix} \times (\frac{1}{2})^1 \times (\frac{1}{2})^9 \)
\(p(X=1) = \begin{pmatrix}10\\1\end{pmatrix} \times (\frac{1}{2})^{10}\)
On a \( \begin{pmatrix}10\\1\end{pmatrix} = 10 \)
Donc : \( p(X=1)= 10 \times (\frac{1}{2})^{10} \) Proposition 4 vraie (et 3 fausse).
Tu d
Question 3
On lance $11$ fois de suite un dé non truqué et on note \(X\) le nombre de fois où on a obtenu la face 6.
\(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n=11\) et \(p=\dfrac{1}{6}\).
\(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n=11\) et \(p=\dfrac{1}{2}\).
La probabilité d’obtenir 4 fois la face 6 est : \( \dfrac{4}{11} \times \dfrac{1}{6}\).
La probabilité d’obtenir 4 fois la face 6 est : \( 330 \times \dfrac{5^7}{ 6^{11}}\).
On répète 11 fois la même expérience, donc \(n= \ ?\)
On a \(n=11\) (nombre de répétitions). Lorsqu’on lance UNE fois le dé, on peut définir le succès (\(S\) = obtenir 6) et l’échec (\(\bar S\) = obtenir 1, 2, …, 5) : \( p\) est la probabilité du succès : combien vaut-elle ?
\(p=p(S)=\frac{1}{6 }\)
La probabilité d’obtenir 4 fois la valeur 6 est : \(p(X=4)\).
\( \begin{pmatrix}11\\4 \end{pmatrix} = 330\)
On a \(n=11\) (nombre de répétitions). Lorsqu’on lance UNE fois le dé, on peut définir le succès (\(S\) = obtenir 6) et l’échec (\(\bar S\) = obtenir 1, 2, …, 5) : \( p\) est la probabilité du succès : combien vaut-elle ?
\(p=p(S)=\frac{1}{6 }\)
La probabilité d’obtenir 4 fois la valeur 6 est : \(p(X=4)\).
\( \begin{pmatrix}11\\4 \end{pmatrix} = 330\)
L’expérience de Bernoulli consiste à lancer UNE fois le dé : on a bien deux issues : le succès (\(S\)= obtenir 6) et l’échec (\(\bar S\) = obtenir 1, 2, …, 5) : \(p= \frac{1}{6}\).
On répète cette expérience 11 fois et de manière indépendante (un lancé n’influence pas l’autre) : \(n=11\).
Donc : \(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n=11\) et \(p=\frac{1}{6}\) Proposition 1 vraie (et 2 fausse).
La probabilité d’obtenir 4 fois la face 6 est :
\(p(X=4) = \begin{pmatrix}11\\4 \end{pmatrix} \times p^4 \times (1-p)^7 \)
\(p(X=4) = \begin{pmatrix}11\\4 \end{pmatrix} \times (\frac{1}{6})^4 \times (\frac{5}{6})^7 \)
\(p(X=4) =\begin{pmatrix}11\\4 \end{pmatrix} \times \large\frac{5^7 }{ 6^{11}}\)
On a \( \begin{pmatrix}11\\4 \end{pmatrix} = 330\)
Donc : \(p(X=4)= 330 \times \large\frac{5^7 }{ 6^{11}}\) Proposition 4 vraie (et 3 fausse).
\(p(X=4)=
On répète cette expérience 11 fois et de manière indépendante (un lancé n’influence pas l’autre) : \(n=11\).
Donc : \(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n=11\) et \(p=\frac{1}{6}\) Proposition 1 vraie (et 2 fausse).
La probabilité d’obtenir 4 fois la face 6 est :
\(p(X=4) = \begin{pmatrix}11\\4 \end{pmatrix} \times p^4 \times (1-p)^7 \)
\(p(X=4) = \begin{pmatrix}11\\4 \end{pmatrix} \times (\frac{1}{6})^4 \times (\frac{5}{6})^7 \)
\(p(X=4) =\begin{pmatrix}11\\4 \end{pmatrix} \times \large\frac{5^7 }{ 6^{11}}\)
On a \( \begin{pmatrix}11\\4 \end{pmatrix} = 330\)
Donc : \(p(X=4)= 330 \times \large\frac{5^7 }{ 6^{11}}\) Proposition 4 vraie (et 3 fausse).
\(p(X=4)=
Question 4
Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 2 blanches, 6 rouges et 2 noires. On tire au hasard une boule dans l'urne et on note sa couleur. Puis on la met de côté.
On répète 8 fois cette expérience. On pose \(X\) le nombre de fois où on a tiré une boule blanche.
Les valeurs de \(X\) peuvent être 0; 1 ou 2.
\(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=8\) et \(p= \dfrac{1}{3}\).
\(X\) ne suit pas une loi binomiale.
\(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=8\) et \(p= \dfrac{1}{5}\).
Il y a 2 boules blanches, donc au maximum \(X\) vaut 2.
On peut aussi réaliser 8 tirages en n’ayant jamais de boule blanche (elles resteront donc dans l’urne).
Peut-on dire ici que l’on répète 8 fois exactement la même expérience ?
Lorsqu’on met une boule de coté, il n’en reste que 9… ainsi de suite !
On peut aussi réaliser 8 tirages en n’ayant jamais de boule blanche (elles resteront donc dans l’urne).
Peut-on dire ici que l’on répète 8 fois exactement la même expérience ?
Lorsqu’on met une boule de coté, il n’en reste que 9… ainsi de suite !
On peut avoir \(X=0\) (aucune boule blanche n’a été tirée au cours des 8 tirages), \(X=1\) ou \(X=2\) (et pas plus : toutes les boules blanches ont été tirées). Proposition 1 vraie.
\(X\) ne suit pas de loi binomiale : en effet, nous ne sommes pas ici dans un contexte où l’on répète des expériences identiques :
- Lors de la première expérience, la probabilité de tirer une boule blanche est \(\frac{2}{10}\) (l’urne contient 10 boules). Mais on met la boule tirée de coté, donc lors de la deuxième expérience il ne reste que 9 boules dans l’urne : c’est une expérience différente de la première ! Pas de loi binomiale ici ! Proposition 3 vraie (2 et 4 fausses).
Lorsque l’on effectue un tirage SANS remise, il n’ y a pas de loi Binomiale !
\(X\) ne suit pas de loi binomiale : en effet, nous ne sommes pas ici dans un contexte où l’on répète des expériences identiques :
- Lors de la première expérience, la probabilité de tirer une boule blanche est \(\frac{2}{10}\) (l’urne contient 10 boules). Mais on met la boule tirée de coté, donc lors de la deuxième expérience il ne reste que 9 boules dans l’urne : c’est une expérience différente de la première ! Pas de loi binomiale ici ! Proposition 3 vraie (2 et 4 fausses).
Lorsque l’on effectue un tirage SANS remise, il n’ y a pas de loi Binomiale !
Question 5
Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 2 blanches, 6 rouges et 2 noires On tire au hasard une boule dans l'urne et on note sa couleur. Puis on la remet dans l'urne.
On répète 8 fois cette expérience. On pose \(X\) le nombre de fois où on a tiré une boule blanche.
\(X\) ne suit pas une loi binomiale.
\(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=8\) et \(p= \dfrac{1}{5}\).
La probabilité d’obtenir $5$ fois une boule blanche est \(56 \times \dfrac{4^3 }{5^8}\).
La probabilité d’obtenir $5$ fois une boule blanche est environ $0,009$.
Ici, on remet la boule dans l’urne après chaque tirage : on répète donc bien exactement la même expérience à chaque fois : bien parti pour une loi binomiale…
Le succès est « obtenir une boule blanche » lorsque l’on tire une seule fois une boule : quelle est sa probabilité ?
On cherche \(p(X=5)\).
On a \(\begin{pmatrix}8\\5\end{pmatrix} = 56 \) (A la calculatrice.)
Le succès est « obtenir une boule blanche » lorsque l’on tire une seule fois une boule : quelle est sa probabilité ?
On cherche \(p(X=5)\).
On a \(\begin{pmatrix}8\\5\end{pmatrix} = 56 \) (A la calculatrice.)
L’expérience de Bernoulli consiste à tirer UNE boule dans l’urne puis à la remettre dans l’urne : on a bien deux issues : le succès (\(S\)= obtenir une boule blanche) et l’échec (= obtenir une autre couleur) : \(p= p(S) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}\).
On répète cette même expérience 8 fois et de manière indépendante (un tirage n’influence pas l’autre) : \(n=8\).
Donc : \( X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n=8\) et \(p=\frac{1}{5}\) Proposition 2 vraie (et 1 fausse).
La probabilité d’obtenir 5 fois une boule blanche est :
\(p(X=5) = \begin{pmatrix}8\\5\end{pmatrix} \times p^5 \times (1-p)^3 \)
\(p(X=5) = \begin{pmatrix}8\\5\end{pmatrix} \times \large (\frac{1}{5})^5 \times (\frac{4}{5})^3 \)
\(p(X=5) = \begin{pmatrix}8\\5\end{pmatrix} \times \large\frac{ 4^3 }{ 5^8 }\)
On a \( \begin{pmatrix}8\\5\end{pmatrix} = 56\) (A la calculatrice.)
On répète cette même expérience 8 fois et de manière indépendante (un tirage n’influence pas l’autre) : \(n=8\).
Donc : \( X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n=8\) et \(p=\frac{1}{5}\) Proposition 2 vraie (et 1 fausse).
La probabilité d’obtenir 5 fois une boule blanche est :
\(p(X=5) = \begin{pmatrix}8\\5\end{pmatrix} \times p^5 \times (1-p)^3 \)
\(p(X=5) = \begin{pmatrix}8\\5\end{pmatrix} \times \large (\frac{1}{5})^5 \times (\frac{4}{5})^3 \)
\(p(X=5) = \begin{pmatrix}8\\5\end{pmatrix} \times \large\frac{ 4^3 }{ 5^8 }\)
On a \( \begin{pmatrix}8\\5\end{pmatrix} = 56\) (A la calculatrice.)