L'énoncé
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Question 1
Une variable aléatoire \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B} (5 ; \frac{1}{4})\).
\(5\) correspond au nombre de répétitions d’une même expérience.
La probabilité du succès lorsque on fait une seule fois l’expérience est \(\dfrac{1}{2}\), et celle de l’échec \(\dfrac{1}{2}\).
\(p(X=3)\) désigne la probabilité d’obtenir \(3\) succès et \(2\) échecs au cours des \(5\) répétitions.
L’espérance de \(X\) vaut \(2,5\).
La notation \(\mathcal{B} (5 ; \frac{1}{4})\) permet de donner les paramètres de la loi binomiale : \( n=5\) et \(p=\frac{1}{4}\), et tu dois savoir ce que représente \(n\) et \(p\).
Dans une expérience de Bernoulli, il y a deux issues : le succès, de probabilité \(p\), et l’échec de probabilité \(1-p\). Et ici on a \(p=\frac{1}{4}\)…
Formule de l’espérance à savoir par cœur ici.
Dans une expérience de Bernoulli, il y a deux issues : le succès, de probabilité \(p\), et l’échec de probabilité \(1-p\). Et ici on a \(p=\frac{1}{4}\)…
Formule de l’espérance à savoir par cœur ici.
Le nombre de répétitions est \(n=5\) et la probabilité du succès est \(p=\frac{1}{4}\). Proposition 1 vraie et 2 fausse.
La notation \(p(X=3)\) désigne la probabilité d’obtenir 3 succès et 2 échecs au cours des 5 répétitions. Proposition 3 vraie.
\(E(X)= n\times p = 5 \times \frac{1}{4} = 1,125\). Proposition 4 fausse.
Retiens biens ce que désignent les notations \(n\) et \(p\) : \(n\) est le nombre de répétitions, et \(p\) la probabilité du succès lorsqu’on réalise une seule fois l’expérience de Bernoulli.
Même si pour l’instant c’est encore un peu abstrait pour toi, en t’entraînant, tu maitriseras bien ces notations : courage !
La notation \(p(X=3)\) désigne la probabilité d’obtenir 3 succès et 2 échecs au cours des 5 répétitions. Proposition 3 vraie.
\(E(X)= n\times p = 5 \times \frac{1}{4} = 1,125\). Proposition 4 fausse.
Retiens biens ce que désignent les notations \(n\) et \(p\) : \(n\) est le nombre de répétitions, et \(p\) la probabilité du succès lorsqu’on réalise une seule fois l’expérience de Bernoulli.
Même si pour l’instant c’est encore un peu abstrait pour toi, en t’entraînant, tu maitriseras bien ces notations : courage !
Question 2
Une variable aléatoire \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(5\) et \(\dfrac{1}{4}\).
La formule permettant de calculer \(p(X=2)\) est : \(\begin{pmatrix} 5 \\ 2\end{pmatrix}\times \left(\dfrac{1}{4}\right)^2 \times \left(1 - \dfrac{1}{4}\right)^3\)
La formule permettant de calculer \(p(X=2)\) est : \(\begin{pmatrix} 2 \\ 5\end{pmatrix} \times \left(\dfrac{1}{4}\right)^3 \times \left(1 - \dfrac{1}{4}\right)^2\)
On a \(\begin{pmatrix} 5 \\ 2\end{pmatrix} = 10\)
On a \(p(X=2) =\dfrac{135}{512}\)
Apprends par cœur la formule sur la loi binomiale : revois la fiche de révision ou la vidéo ! Que valent \(n\) et \(p\) ici ? Et \(k\) ?
Applique la formule avec : \(n= 5, p= \frac{1}{4}\) et \(k =2\).
Pour le calcul de \(\begin{pmatrix} 5 \\ 2\end{pmatrix}\), il faut utiliser la calculatrice !
\(\begin{pmatrix} 5 \\ 2\end{pmatrix} = 10\)
A toi de poursuivre le calcul de \(p(X=2)\) : pense à simplifier ta fraction !
Applique la formule avec : \(n= 5, p= \frac{1}{4}\) et \(k =2\).
Pour le calcul de \(\begin{pmatrix} 5 \\ 2\end{pmatrix}\), il faut utiliser la calculatrice !
\(\begin{pmatrix} 5 \\ 2\end{pmatrix} = 10\)
A toi de poursuivre le calcul de \(p(X=2)\) : pense à simplifier ta fraction !
On applique la formule de cours avec \(n= 5, p= \frac{1}{4}\) et \(k =2\).
\(p(X=2) =\begin{pmatrix} 5 \\ 2\end{pmatrix} \times (\frac{1}{4})^2 \times (1 - \frac{1}{4})^3 =\begin{pmatrix} 5 \\ 2\end{pmatrix} \times (\frac{1}{4})^2 \times (\frac{3}{4})^3 \)
On a \(\begin{pmatrix} 5 \\ 2\end{pmatrix} = 10\) (à la calculatrice)
\(p(X=2) = 10 \times (\frac{1}{4})^2 \times (\frac{3}{4})^3 \)
\(p(X=2) = 10 \times \frac{1}{16} \times \frac{27}{64}\)
\(p(X=2) =\large\frac{135}{512}\)
Là encore, un peu d’entrainement te permettra de mener facilement ces calculs. Commence toujours par trouver les valeurs de \(n, p\) et \(k\) !
Comme tu le vois, il faut maitriser les écritures comportant des exposants, et notamment les formules : \[ (\frac{a}{b})^k = \frac{a^k}{b^k}\]
\[a^k \times b^k =(a\times b)^k\]
Attention à bien placer tes parenthèses !
\(p(X=2) =\begin{pmatrix} 5 \\ 2\end{pmatrix} \times (\frac{1}{4})^2 \times (1 - \frac{1}{4})^3 =\begin{pmatrix} 5 \\ 2\end{pmatrix} \times (\frac{1}{4})^2 \times (\frac{3}{4})^3 \)
On a \(\begin{pmatrix} 5 \\ 2\end{pmatrix} = 10\) (à la calculatrice)
\(p(X=2) = 10 \times (\frac{1}{4})^2 \times (\frac{3}{4})^3 \)
\(p(X=2) = 10 \times \frac{1}{16} \times \frac{27}{64}\)
\(p(X=2) =\large\frac{135}{512}\)
Là encore, un peu d’entrainement te permettra de mener facilement ces calculs. Commence toujours par trouver les valeurs de \(n, p\) et \(k\) !
Comme tu le vois, il faut maitriser les écritures comportant des exposants, et notamment les formules : \[ (\frac{a}{b})^k = \frac{a^k}{b^k}\]
\[a^k \times b^k =(a\times b)^k\]
Attention à bien placer tes parenthèses !
Question 3
Une variable aléatoire \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(6\) et \(\dfrac{1}{2}\).
La probabilité d'obtenir \(4\) succès au cours de \(6\) répétitions est :
\(4 \times\dfrac{1}{2}\)
\(\begin{pmatrix} 6 \\ 4\end{pmatrix} \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^4 \times \left(1 -\dfrac{1}{2}\right)^2\)
\(\dfrac{15}{2^6}\)
\(0,24\) à \(10^{-2}\) près
On cherche \(p(X=4)\).
La formule pour trouver \(p(X=k)\) ne doit plus avoir de secret pour toi : ici, on a \(n=6, p=\frac{1}{2}\) et \(k=4\).
Vérifie à la calculatrice que \(\begin{pmatrix} 6 \\ 4\end{pmatrix} = 15.\)
La formule pour trouver \(p(X=k)\) ne doit plus avoir de secret pour toi : ici, on a \(n=6, p=\frac{1}{2}\) et \(k=4\).
Vérifie à la calculatrice que \(\begin{pmatrix} 6 \\ 4\end{pmatrix} = 15.\)
\(p(X=4) = \begin{pmatrix} 6 \\ 4\end{pmatrix} \times p^4 \times (1-p)^2 \)
\(p(X=4) = \begin{pmatrix} 6 \\ 4\end{pmatrix} \times (\frac{1}{2})^4 \times (1 - \frac{1}{2}^2 \)
\(p(X=4) =\begin{pmatrix} 6 \\ 4\end{pmatrix} \times (\frac{1}{2})^4 \times (\frac{1}{2})^2 \)
On a \(\begin{pmatrix} 6 \\ 4\end{pmatrix} = 15\) (à la calculatrice).
\(p(X=4) = \begin{pmatrix} 6 \\ 4\end{pmatrix} \times (\frac{1}{2})^6 \)
\(p(X=2) = 15 \times \large \frac{1}{2}^6 \)
\(p(X=2) = \large\frac{15}{2^6}\)
\(p(X=2) \approx0,23\) à \(10^{-2}\) près
Là encore, tu vois que dans les calculs on utilise les égalités :
\[ (\large\frac{a}{b})^k = \frac{a^k}{b^k}\]
\[\large a^k \times b^k =(a\times b)^k\]
Avec en plus ici le fait que \(1^k =1\).
\(p(X=4) = \begin{pmatrix} 6 \\ 4\end{pmatrix} \times (\frac{1}{2})^4 \times (1 - \frac{1}{2}^2 \)
\(p(X=4) =\begin{pmatrix} 6 \\ 4\end{pmatrix} \times (\frac{1}{2})^4 \times (\frac{1}{2})^2 \)
On a \(\begin{pmatrix} 6 \\ 4\end{pmatrix} = 15\) (à la calculatrice).
\(p(X=4) = \begin{pmatrix} 6 \\ 4\end{pmatrix} \times (\frac{1}{2})^6 \)
\(p(X=2) = 15 \times \large \frac{1}{2}^6 \)
\(p(X=2) = \large\frac{15}{2^6}\)
\(p(X=2) \approx0,23\) à \(10^{-2}\) près
Là encore, tu vois que dans les calculs on utilise les égalités :
\[ (\large\frac{a}{b})^k = \frac{a^k}{b^k}\]
\[\large a^k \times b^k =(a\times b)^k\]
Avec en plus ici le fait que \(1^k =1\).
Question 4
Une variable aléatoire \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(8\) et \(\dfrac{1}{4}\).
Les résultats de la question 4 doivent être conservés pour traiter la question 5.
\(p(X=0) = \left(\dfrac{3}{4}\right)^8\)
\(p(X=0) =0\)
La probabilité d’avoir 1 succès est \(2\times \left(\dfrac{3}{4}\right)^1\).
La probabilité d’avoir 1 succès est \(2\times \left(\dfrac{3}{4}\right)^7\).
Pour \(p(X=0)\) : on applique la formule de cours avec \(n= 8, p= \frac{1}{4}\) et \(k =0\).
\((\frac{1}{4})^0=1\) et tu dois savoir par cœur la valeur de \(\begin{pmatrix} 8 \\0 \end{pmatrix}\) : c’est 1 ! Visionne la vidéo sur les coefficients binomiaux !
Pour \(p(X=1)\) : tu as besoin de la valeur de \(\begin{pmatrix} 8 \\ 1 \end{pmatrix}\) : à savoir par cœur aussi : c’est 8 !
\((\frac{1}{4})^0=1\) et tu dois savoir par cœur la valeur de \(\begin{pmatrix} 8 \\0 \end{pmatrix}\) : c’est 1 ! Visionne la vidéo sur les coefficients binomiaux !
Pour \(p(X=1)\) : tu as besoin de la valeur de \(\begin{pmatrix} 8 \\ 1 \end{pmatrix}\) : à savoir par cœur aussi : c’est 8 !
\(p(X=0) =\begin{pmatrix} 8 \\0 \end{pmatrix} \times p^0 \times (1-p)^8 \)
\(p(X=0) = \begin{pmatrix} 8 \\0 \end{pmatrix} \times (\frac{1}{4} )^0 \times (\frac{3}{4})^8 \)
\(p(X=0) =\begin{pmatrix} 8 \\0 \end{pmatrix} \times (\frac{3}{4})^8\)
On a \(\begin{pmatrix} 8 \\0 \end{pmatrix} = 1\) (A savoir par cœur ! voir le cours sur les coefficients binomiaux.)
\(p(X=0)= (\frac{3}{4})^8 \) Proposition 1 vraie (et 2 fausse).
\(p(X=1) =\begin{pmatrix} 8 \\1 \end{pmatrix} \times p^1 \times (1-p)^7 \)
\(p(X=1) = \begin{pmatrix} 8 \\1 \end{pmatrix} \times (\frac{1}{4})^1 \times (\frac{3}{4})^7\)
\(p(X=1) =\begin{pmatrix} 8 \\1 \end{pmatrix} \times (\frac{1}{4}) \times (\frac{3}{4})^7\)
On a \(\begin{pmatrix} 8 \\1 \end{pmatrix} = 8 \) (A savoir par cœur ! voir le cours sur les coefficients binomiaux.)
\(p(X=0) = \begin{pmatrix} 8 \\0 \end{pmatrix} \times (\frac{1}{4} )^0 \times (\frac{3}{4})^8 \)
\(p(X=0) =\begin{pmatrix} 8 \\0 \end{pmatrix} \times (\frac{3}{4})^8\)
On a \(\begin{pmatrix} 8 \\0 \end{pmatrix} = 1\) (A savoir par cœur ! voir le cours sur les coefficients binomiaux.)
\(p(X=0)= (\frac{3}{4})^8 \) Proposition 1 vraie (et 2 fausse).
\(p(X=1) =\begin{pmatrix} 8 \\1 \end{pmatrix} \times p^1 \times (1-p)^7 \)
\(p(X=1) = \begin{pmatrix} 8 \\1 \end{pmatrix} \times (\frac{1}{4})^1 \times (\frac{3}{4})^7\)
\(p(X=1) =\begin{pmatrix} 8 \\1 \end{pmatrix} \times (\frac{1}{4}) \times (\frac{3}{4})^7\)
On a \(\begin{pmatrix} 8 \\1 \end{pmatrix} = 8 \) (A savoir par cœur ! voir le cours sur les coefficients binomiaux.)
Question 5
On considère de nouveau une variable aléatoire \(X\) qui suit la loi binomiale de paramètres \(8\) et \(\dfrac{1}{4}\).
La probabilité d’obtenir au plus un succès au cours de \(8\) répétitions est \(p(X=0)+p(X=1)\).
La probabilité d’obtenir au plus un succès au cours de \(8\) répétitions est \(p(X\geq1)\).
La probabilité d’obtenir au plus un succès au cours de \(8\) répétitions est
\(\left(\dfrac{3}{4}\right)^8 +2 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^7\).
L’espérance de la variable aléatoire est \(2\).
Énonce les possibilités pour avoir au plus 1 succès (c’est à dire au maximum 1 succès).
Au plus 1 succès donne les possibilités : \(X=0\) ou \(X=1\).
On a : \(p(X \leq1 )= p(X=0)+p(X=1)\). Puis on utilise les résultats de la question 4.
Revois le cours sur l’espérance de la loi binomiale !
Au plus 1 succès donne les possibilités : \(X=0\) ou \(X=1\).
On a : \(p(X \leq1 )= p(X=0)+p(X=1)\). Puis on utilise les résultats de la question 4.
Revois le cours sur l’espérance de la loi binomiale !
Obtenir au plus 1 succès se traduit par \(X \leq1\) et donne les possibilités : \(X=0\) ou \(X=1\).
\(p(X \leq1 )= p(X=0)+p(X=1) = (\frac{3}{4})^8 +2 \times (\frac{3}{4})^7 \) (Propositions 1 et 3 vraies.)
L’espérance de \(X\) est : \(E(X) = n \times p\) (Formule de cours à connaître par cœur.)
Donc ici \(E(X)= 8 \times \frac{1}{4} = 2 \) (Proposition 4 vraie.)
Lorsque tu rencontres dans un énoncé des formulations telles que « au moins un succès » ou « au plus un succès », essaies de trouver les valeurs possibles pour \(X\) :
• « au moins un succès » signifie que tu peux avoir \(1, 2, 3,…, n\) succès : c’est \(p(X \geq 1)\).
Et on a \(p(X \geq 1) = p(X=1) +p(X=2)+…p(X=n) \)
C’est à dire : \(p(X \geq 1)= 1- p(X=0)\)
• « au plus un succès » signifie que tu peux avoir \(0\) ou \(1\) succès : c’est \(p(X \leq 1)\).
\(p(X \leq1 )= p(X=0)+p(X=1) = (\frac{3}{4})^8 +2 \times (\frac{3}{4})^7 \) (Propositions 1 et 3 vraies.)
L’espérance de \(X\) est : \(E(X) = n \times p\) (Formule de cours à connaître par cœur.)
Donc ici \(E(X)= 8 \times \frac{1}{4} = 2 \) (Proposition 4 vraie.)
Lorsque tu rencontres dans un énoncé des formulations telles que « au moins un succès » ou « au plus un succès », essaies de trouver les valeurs possibles pour \(X\) :
• « au moins un succès » signifie que tu peux avoir \(1, 2, 3,…, n\) succès : c’est \(p(X \geq 1)\).
Et on a \(p(X \geq 1) = p(X=1) +p(X=2)+…p(X=n) \)
C’est à dire : \(p(X \geq 1)= 1- p(X=0)\)
• « au plus un succès » signifie que tu peux avoir \(0\) ou \(1\) succès : c’est \(p(X \leq 1)\).