On joue avec un dé truqué à six faces numérotées de $1$ à $6$.
On note les événements $A$ : "Il sort un chiffre pair" et $B$ : "Il sort un chiffre impair".
On sait que $P(A) = \dfrac{3}{4} \times P(B)$ avec équiprobabilité entre les numéros pairs et également équiprobabilité entre les numéros impairs.
On détermine que $X$ est la variable aléatoire égale au numéro sorti.
Question : Déterminer la loi de $X$.
$X$ peut valoir $1$, $3$ et $5$ pour les chiffres impairs, et $2$, $4$ ou $6$ pour les chiffres pairs.
Les faces portant des chiffres pairs ont la même probabilité de sortie, donc $P(X=2) = P(X=4) = P(X=6) = P(A)$.
Les faces portant un chiffre impair ont la même probabilité d'apparition, donc $P(X=1) = P(X=3) = P(X=5) = P(B)$.
On sait que $P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) = 1$, et que $3P(A) + 3P(B) = 1$.
Par ailleurs, on a $P(A) = \dfrac{3}{4} \times P(B)$, ce qui veut dire que
$3\times \dfrac{3}{4} P(B) + 3 P(B) = 1$.
Soit $ \dfrac{21}{4} P(B)=1$
On peut en déduire que $P(B) = \dfrac{4}{21}$ et que $P(A) = \dfrac{1}{7}$.
On peut donc dire que la probabilité de voir apparaître un chiffre pair est donc de $\dfrac{1}{7}$ et la probabilité de voir apparaître un chiffre impair est donc de $\dfrac{4}{21}$.
On obtient le tableau suivant :
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$xi$ |
$1$ |
$2$ |
$3$ |
$4$ |
$5$ |
$6$ |
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$P(X=xi)$ |
$\dfrac{4}{21}$ | $\dfrac{1}{7}$ | $\dfrac{4}{21}$ | $\dfrac{1}{7}$ | $\dfrac{4}{21}$ | $\dfrac{1}{7}$ |