L'énoncé
Cet exercice est un QCM ; il n’y a qu’une seule bonne réponse possible parmi toutes celles proposées.
Tu as obtenu le score de
Question 1
On lance 1 000 fois un dé équilibré. La fréquence de nombres "pairs" obtenus appartient à l'intervalle de fluctuation :
\(I_f = \left[ 0,5 - \dfrac{1}{\sqrt{1000}} ; 0,5 + \dfrac{1}{\sqrt{1000}} \right]\)
Jamais.
Au seuil de 95%.
Toujours.
Au seuil de 5%.
Evident ; c'est une définition de cours !
Question 2
La probabilité qu'une personne ait les yeux bleus en France est de 0,32. On s'intéresse à un échantillon de 375 personnes. Quel est l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% ?
\(I_f = [0,27 ; 0,37]\)
\(I_f = [0,31 ; 0,32]\)
\(I_f = [3,15 ; 3,25]\)
On ne peut pas savoir.
\( I_f = \left[ p - \dfrac{1}{\sqrt{n}} ; p + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]\)
Ici, que vaut \(p\) ?
Que vaut \(n\) ?
Question 3
On lance 100 fois une pièce de monnaie non truquée. A quel intervalle de fluctuation au seuil de 95% appartient la fréquence de "face" obtenue ?
\(I_f = [98,6 ; 101,4]\)
\(I_f = [0,49 ; 0,51]\)
\(I_f = [0,4 ; 0,6]\)
On ne peut pas savoir.
L'intervalle cherché est : \( I_f = \left[ p - \dfrac{1}{\sqrt{n}} ; p + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]\)
Que vaut \(p\) ? C'est-à-dire la probabilité d'obtenir "face" en un lancer ?
Que vaut \(n\) ? C'est-à-dire la taille de l'échantillon ou encore le nombre de lancers ?
Question 4
Quel est l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence des gains ?
Ici, que vaut \(p\) ?
Que vaut \(n\) ?
Question 5
Donc : \(0,3 - 0,2= \frac{1}{\sqrt{n}}\) soit \(\frac{1}{\sqrt{n}} = 0,1\) donc \(\sqrt{n}=\frac{1}{0,1} = 10\) et \(n = 100\).
Que vaut \(p\) ? C'est-à-dire la probabilité d'obtenir "un jeton vert" en un lancer ?
D'après l'énoncé que vaut \(p-\frac{1}{\sqrt{n}}\) ?
On peut alors remplacer n par les différentes valeurs proposées et vérifier pour laquelle on obtient l'intervalle de fluctuation donné. On peut aussi résoudre une équation qui donnera la valeur de \(n\) ; c'est la méthode qu'il faudrait utiliser dans un exercice hors QCM.
Question 6
Ici \(p = 0,45\) et \(n = 25\).
L’intervalle de fluctuation est \(\large I_f = \left[ p - \frac{1}{\sqrt{n}} ; p + \frac{1}{\sqrt{n}} \right]\) : cela correspond concrètement à l’intervalle dans lequel fluctue la fréquence du nombre d'hommes.
Alors : \(p - \frac{1}{\sqrt{n}} = 0,45 - \frac{1}{\sqrt{25}} = 0,45-0,2= 0,25\)
Et : \(p + \frac{1}{\sqrt{n}} = 0,45 + \frac{1}{\sqrt{25}} = 0,45+0,2= 0,65\)
La fréquence du nombre d’hommes fluctue donc entre 0,25 et 0,65 (en pourcentage cela donne 25% et 65%).
Comme il y a 25 personnes au total, le nombre d’hommes fluctue entre \(\frac{25}{100} \times 25 = 6,25\) et \(\frac{65}{100} \times 25 = 16,25\)
Soit entre 6 et 17 hommes.
Que vaut \(n\) ?
Dans quel intervalle fluctue la fréquence du nombre d'hommes ?
Il y a 25 personnes ; dans quel intervalle fluctue le nombre d'hommes ?
Question 7
ENT(6*ALEA()) prend la partie entière de "6*ALEA()" et donne donc un nombre entier aléatoire compris entre 0 et 5 (si tu ne comprends pas la notions de « partie entière » voici quelques exemples, c’est tout simple : la partie entière de 1,4 et 1, celle de 4,8 est 4, celle de 5,6 est 5, ainsi de suite… : on ne garde que le nombre entier, et pas les chiffres après la virgule).
Au final, 1+ENT(6*ALEA()) donne donc un nombre entier compris entre 1 et 6.
ALEA() donne un nombre réel aléatoire strictement compris entre 0 et 1.
6*ALEA() donne un nombre réel aléatoire strictement compris entre 0 et 6.
ENT(6*ALEA()) prend la partie entière de "6*ALEA()" et donne donc un nombre entier aléatoire compris entre 0 et 5.
1+ENT(6*ALEA()) donne donc un nombre entier…
Question 8
Une estimation du pourcentage des voix recueillies par le candidat, obtenue par un intervalle de confiance au seuil de 95% est :
On obtient l’intervalle de confiance \([0,448 ; 0,512]\) : une estimation du pourcentage de voix est donc dans l’intervalle de confiance : \([44,8 ; 51,2]\).
Que vaut \(n\) ?
Que vaut \(f\) ?
Question 9
Le taux d'audience dune chaîne de télévision, un soir à vingt heures, a été mesuré à partir de 1000 appareils ; on a trouvé 31%. Quelle est une estimation de l'audience de cette chaîne ce soir-là pour le pays entier ?
Entre 27,8% et 34%.
L’intervalle de confiance est donc : \(\large I_c = \left[ f - \frac{1}{\sqrt{n}} ; f + \frac{1}{\sqrt{n}} \right]\) soit \(I_C = [0,278 ; 0,34]\). En repassant aux pourcentages on a : 27,8% et 34%.
Entre 30,9% et 31,1%.
Entre 9,69% et 10,31%.
On ne peut pas savoir.
Que vaut \(n\) ?
31% représente une probabilité théorique ou bien une fréquence observée ?
On cherche l'intervalle de confiance ou bien de fluctuation ?
Question 10
L’intervalle de confiance est alors \(\large I_c = \left[ f - \frac{1}{\sqrt{n}} ; f + \frac{1}{\sqrt{n}} \right]\) avec \(f- \frac{1}{\sqrt{n}} = 0,400 - \frac{1}{\sqrt{737}} \approx 0,363\) et aussi \(f+ \frac{1}{\sqrt{n}} = 0,400 + \frac{1}{\sqrt{737}} \approx 0,437\), donc \(I_C = [0,36 ; 0,44]\).
Que vaut \(n\) ?
On cherche l'intervalle de confiance ou bien de fluctuation ?