On considère une parabole $C_f$ ayant pour sommet le point $A$ de coordonnées (1, 2), et passant par les points $C$ (– 1, 0) et $B$ (3, 0).
1) Dessiner la courbe $C_f$ à l'aide de Géogébra.2) Trouver une expression développée de la fonction $f$ dont la courbe $C_f$ est représentative.
On a : $f(x) = a (x – α)^2 + β$.
Ici $α = 1$ et $β = 2$.
Donc $f(x) = a (x – 1)^2 + 2$
$f(x) = a (x^2 – 2x + 1) + 2$
$f(x) = ax^2 – 2ax + a + 2$
De plus, on a $f(– 1) = 0\Leftrightarrow a \times (– 1)^2 – 2a\times (– 1) + a +2 = 0$
$\Leftrightarrow a + 2a + a + 2 = 0$
$\Leftrightarrow 4a + 2 = 0$
$\Leftrightarrow a = –\dfrac{1}{2}$
On peut vérifier que $f(3)=0$ :
$f(3) = – \dfrac{1}{2}\times (3 – 1)^2 + 2$
$f(3) = – \dfrac{1}{2} \times 2^2 + 2$
$f(3) = – (\dfrac{4}{2}) + 2 = 0$. La vérification est terminée.
En conclusion on a : $f(x) = – \dfrac{1}{2}x^2 + x + \dfrac{3}{2}$
