L'énoncé
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Question 1
\(h\) est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = (x +x^2)(3 - x)\) et dérivable sur \(\mathbb{R}\). Alors,
\(h '(x) = - 1 - 2x\)
\(h '(x) = - 3x^2 + 4x + 3\)
\(h '(2) = - 5\)
\(h '(2) = - 1\)
Est-ce une somme, un produit, un inverse, un quotient ?
Le produit de quelles fonctions ?
Quelle est la formule associée ?
Que vaut alors \(h '(2)\) ?
Le produit de quelles fonctions ?
Quelle est la formule associée ?
Que vaut alors \(h '(2)\) ?
\(h = u\times v \text{ avec }
\begin{equation} \left\{ \begin{split} u(x) = x + x^2 \text { et } v(x) = 3 - x\\ u’(x) = 1+2x \text{ et } v’(x) = - 1 \end{split} \right. \end{equation}\)
h est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et :
\(h' = u'v + uv'\)
Donc pour tout x de ,
\(h '(x) = (1+2x)(3 - x) - 1(x+x^2)\)
\(h '(x) = 3 –x + 6x – 2x^2 - x - x^2\)
\(h '(x) = - 3x^2 + 4x + 3\)
En particulier, \(h '(2) = - 3 \times 4 + 8 + 3 = - 1\).
\begin{equation} \left\{ \begin{split} u(x) = x + x^2 \text { et } v(x) = 3 - x\\ u’(x) = 1+2x \text{ et } v’(x) = - 1 \end{split} \right. \end{equation}\)
h est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et :
\(h' = u'v + uv'\)
Donc pour tout x de ,
\(h '(x) = (1+2x)(3 - x) - 1(x+x^2)\)
\(h '(x) = 3 –x + 6x – 2x^2 - x - x^2\)
\(h '(x) = - 3x^2 + 4x + 3\)
En particulier, \(h '(2) = - 3 \times 4 + 8 + 3 = - 1\).
Question 2
Quelle est la dérivée sur \(\mathbb{R}\setminus\{\frac{-3}{2}\}\) de la fonction définie par \(h(x)= \dfrac{5}{2x+3}\)?
\(h '(x) = \dfrac{5}{2}\)
\(h '(x) = \dfrac{-5}{(2x+3)^2}\)
\(h '(x) = \dfrac{-10}{(2x+3)^2}\)
\(h '(x) = \dfrac{1}{(2x+3)^2}\)
Est-ce une somme, un produit, un inverse, un quotient ?
Le quotient de quelles fonctions ?
Quelle est la formule associée ?
Le quotient de quelles fonctions ?
Quelle est la formule associée ?
\(h = \dfrac{u}{v} \text{ avec }
\begin{equation}
\left\{
\begin{split}
u(x) = 5 \text { et } v(x) = 2x + 3\\
u’(x) = 0 \text{ et } v’(x) = 2
\end{split}
\right.
\end{equation}\)
\(h\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\setminus\{\frac{-3}{2}\}\) et
\(h ' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\)
Ainsi, pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\setminus\{\frac{-3}{2}\}\),
\(h '(x) = \dfrac{- 5\times 2}{(2x+3)^2}\)
\(h '(x) = \dfrac{-10}{(2x+3)^2}\)
On peut aussi écrire que \(h = 5 \times \large\frac{1}{v}\) avec :
\(v(x) = 2x + 3\) et \(v’(x) = 2\)
\(h\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\setminus\{\frac{-3}{2}\}\) et \(h ' = 5 \times \dfrac{ -v'}{v^2}\)
Donc, pour tout \(x\) de\(\mathbb{R}\setminus\{\frac{-3}{2}\}\),
\(h '(x) = \dfrac{- 10}{(2x+3)^2}\).
\(h\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\setminus\{\frac{-3}{2}\}\) et
\(h ' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\)
Ainsi, pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\setminus\{\frac{-3}{2}\}\),
\(h '(x) = \dfrac{- 5\times 2}{(2x+3)^2}\)
\(h '(x) = \dfrac{-10}{(2x+3)^2}\)
On peut aussi écrire que \(h = 5 \times \large\frac{1}{v}\) avec :
\(v(x) = 2x + 3\) et \(v’(x) = 2\)
\(h\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\setminus\{\frac{-3}{2}\}\) et \(h ' = 5 \times \dfrac{ -v'}{v^2}\)
Donc, pour tout \(x\) de\(\mathbb{R}\setminus\{\frac{-3}{2}\}\),
\(h '(x) = \dfrac{- 10}{(2x+3)^2}\).
Question 3
Quelle est la dérivée sur \(\mathbb{R}\setminus\{- 5\}\) de la fonction définie par \(f(x)=\dfrac{(x^2 - 3x+1)}{x+5}\)?
\(f’(x) = 2x – 3 \)
\(f’(x) = \dfrac{x^2 + 4x -14}{ (x ^2 – 3x + 1)^2}\)
\(f’(x) = \dfrac{x^2 + 10x -16}{(x +5)^2}\)
\(f’(x) = \dfrac{x^2 + 4x -14}{(x +5)^2}\)
Est-ce une somme, un produit, un inverse, un quotient ?
Le quotient de quelles fonctions ?
Quelle est la formule associée ?
Le quotient de quelles fonctions ?
Quelle est la formule associée ?
\(f = \dfrac{u}{v} \text{ avec }
\begin{equation}
\left\{
\begin{split}
u(x) = x^2 – 3x + 1 \text{ et } v(x) = x + 5\\
u’(x) = 2x – 3 \text{ et } v’(x) = 1
\end{split}
\right.
\end{equation}\)
\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\setminus\{- 5\}\) et \(f ' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\)
Donc, pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\setminus\{- 5\}\):
\(f’(x) = \dfrac{(2x-3)(x+5) –x^2 + 3x – 1}{(x+5)^2}\)
\(f’(x) = \dfrac{2x^2 + 10x – 3x - 15–x^2 + 3x – 1}{(x+5)^2}\)
\(f’(x) = \large\frac{x^2 + 10x - 16}{(x+5)^2}\)
Il est inutile de développer le dénominateur en utilisant une identité remarquable : tu verras un peu plus tard dans l’année qu’on a besoin d’étudier le signe de la dérivée : donc, on garde le \((x+5)^2\), dont le signe est très facile à trouver….
\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\setminus\{- 5\}\) et \(f ' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\)
Donc, pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\setminus\{- 5\}\):
\(f’(x) = \dfrac{(2x-3)(x+5) –x^2 + 3x – 1}{(x+5)^2}\)
\(f’(x) = \dfrac{2x^2 + 10x – 3x - 15–x^2 + 3x – 1}{(x+5)^2}\)
\(f’(x) = \large\frac{x^2 + 10x - 16}{(x+5)^2}\)
Il est inutile de développer le dénominateur en utilisant une identité remarquable : tu verras un peu plus tard dans l’année qu’on a besoin d’étudier le signe de la dérivée : donc, on garde le \((x+5)^2\), dont le signe est très facile à trouver….
Question 4
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\setminus \{{\frac{5}{2}}\}\) par \(f(x) = \dfrac{4x + 1}{2x - 5}\). La tangente à la courbe représentative de \(f\) en \(x = 3\) a pour équation :
\(y = - 22x + 79\)
\(y = 2x + 7\)
\(y = 22x - 53\)
\(y = x + 10\)
Quelle est la formule de l'équation de cette tangente ?
On a donc besoin de \(f '(3)\) et de \(f(3)\). Comment les calculer ?
Calculer \(f’(x)\) : c’est un quotient, on utilise la formule sur \(\dfrac{u}{v}\)
On a donc besoin de \(f '(3)\) et de \(f(3)\). Comment les calculer ?
Calculer \(f’(x)\) : c’est un quotient, on utilise la formule sur \(\dfrac{u}{v}\)
La tangente \(T\) a pour équation : \(y = f '(3) ( x – 3) + f(3)\)
On a \(f(3) = 13\). Calculons \(f '(3)\) et pour cela \(f’(x)\) :
\(f = \dfrac{u}{v}\normalsize \text { avec } \begin{equation} \left\{ \begin{split} u(x) = 4x + 1 \text { et } v(x) = 2x - 5\\ u’(x) = 4 \text { et } v’(x) = 2 \end{split} \right. \end{equation}\)
\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\setminus \{{\frac{5}{2}}\}\) et \(f ' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\)
Ainsi : pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\setminus \{{\frac{5}{2}}\}\),
\(f’(x) = \dfrac{8x-20 – 8x – 2}{(2x - 5)^2}\)
\(f’(x) = \dfrac{-22}{(2x - 5)^2}\)
En particulier, \(f '(3) = - 22\)
La tangente \(T\) a donc pour équation : \(y = -22( x – 3) + 13\) soit :
\(T : y = - 22x + 79\)
On a \(f(3) = 13\). Calculons \(f '(3)\) et pour cela \(f’(x)\) :
\(f = \dfrac{u}{v}\normalsize \text { avec } \begin{equation} \left\{ \begin{split} u(x) = 4x + 1 \text { et } v(x) = 2x - 5\\ u’(x) = 4 \text { et } v’(x) = 2 \end{split} \right. \end{equation}\)
\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\setminus \{{\frac{5}{2}}\}\) et \(f ' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\)
Ainsi : pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\setminus \{{\frac{5}{2}}\}\),
\(f’(x) = \dfrac{8x-20 – 8x – 2}{(2x - 5)^2}\)
\(f’(x) = \dfrac{-22}{(2x - 5)^2}\)
En particulier, \(f '(3) = - 22\)
La tangente \(T\) a donc pour équation : \(y = -22( x – 3) + 13\) soit :
\(T : y = - 22x + 79\)
Question 5
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(\ f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x +3\). La courbe représentative de \(f\), notée \(C_f\), admet :
Aucune tangente horizontale.
Une tangente horizontale.
Deux tangentes horizontales.
Trois tangentes horizontales.
Quel est le lien entre tangente horizontale et dérivé ?
Quel est le coefficient directeur de la tangente si elle est horizontale ?
A quelle condition sur \({f’(x)}\) la tangente est-elle horizontale ?
Il faut résoudre \({f’(x)} = 0\).
Quel est le coefficient directeur de la tangente si elle est horizontale ?
A quelle condition sur \({f’(x)}\) la tangente est-elle horizontale ?
Il faut résoudre \({f’(x)} = 0\).
Le coefficient directeur de la tangente en \(a\) est \(f '(a)\).
Une tangente horizontale a un coefficient directeur nul. On cherche donc s'il existe des points en lesquels on a \(\setminus{f’(x)} = 0\).
\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\) , \( f’(x) = 3x^2 -6x -9\).
Pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\) ,
\(f’(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 6x -9 = 0\)
Soit \(\Delta\) le discriminant de ce polynôme; alors \(\Delta=144\)
\(\Delta > 0\), donc l'équation \(f’(x) = 0\) admet deux solutions: \(3\) et \(-1\) et donc \(C_f\) admet deux tangentes horizontales en \(3\) et en \(-1\).
Une tangente horizontale a un coefficient directeur nul. On cherche donc s'il existe des points en lesquels on a \(\setminus{f’(x)} = 0\).
\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\) , \( f’(x) = 3x^2 -6x -9\).
Pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\) ,
\(f’(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 6x -9 = 0\)
Soit \(\Delta\) le discriminant de ce polynôme; alors \(\Delta=144\)
\(\Delta > 0\), donc l'équation \(f’(x) = 0\) admet deux solutions: \(3\) et \(-1\) et donc \(C_f\) admet deux tangentes horizontales en \(3\) et en \(-1\).