L'énoncé
Cet exercice est un QCM. Cocher la ou les bonnes réponses
Tu as obtenu le score de
Question 1
La courbe \(C_f\) est celle d'une fonction \(f\). On a tracé les tangentes à \(C_f\) en \(a=2,25\) et en \(b = -0,8\).
\(f '(2,25) = - 2\)
\(f '(2,25) = 3,2 \)
\(f '(- 0,8) = 0\)
\(f '(-0,8) = - 1\)
Comment lire graphiquement un nombre dérivé ?
\(f '(2,25)\) est le coefficient directeur de la tangente à \(C_f\) en \(2,25\) idem pour \(f '(-0,8)\).
En \(– 0,8\) la tangente est horizontale.
La tangente à \(C_f\) en \( 2,25\) a pour coefficient directeur \(- 2\) donc \(f '(2,25) = - 2\).
Ce n'est pas \(f '(2,25)\) mais \(f(2,25)\) qui vaut \(3,2\) et de même \( f(-0,8) = -1\).
La tangente à \(C_f\) en \(a\) est horizontale ; son coefficient directeur est donc nul et \(f '(-0,8) = 0\).
Question 2
La courbe \(C_f\) ci-dessous représente une fonction \(f\).
La droite \((d)\) est la tangente à \(C_f\) en \(-5\) et a pour équation \(y = - 3x-5\).
\(f(-5) = 2 \) et \( f '(-5) = 2\)
\(f(-5) = -3 \) et \( f '(-5) = 2\)
\(f(2) = -5 \) et \( f '(-5) = -3\)
\(f(-5) = 2 \) et \( f '(-5) = -3\)
Quelles sont les coordonnées du point \(A\) ?
Que vaut alors \(f(-5)\) ?
Que représente \(f '(5) \) sur la figure ?
Peut-on lire \(f(-5)\) ou bien \(f(2)\) ? \(f '(-5)\) ou bien \(f '(2)\) ?
\(A(-5;2) \in C_f\) donc \(f(-5) = 2\).
\((d) : y = -3x – 5 \) est tangente à \(C_f\) en \(-5\) donc son coefficient directeur est le nombre dérivé de \(f\) en \(-5\) et \(f '(-5) = -3\).
Question 3
Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = -2(x + 1)^2 \) et telle que \(g '(2) = - 12 \) et \(g(2)=-18\).
La tangente à \(C_g\) en \(2\) a pour équation réduite :
\(y = - 12x - 18 \)
\(y = - 18x - 12\)
\(y = -12x + 6 \)
\(y = - 18x + 24 \)
Que représente \(g '(2)\) pour cette tangente ?
Quelles propositions peux-tu alors éliminer ?
Quelle est l'équation de cette tangente ?
Effectue les calculs…
Comme \(g '(2) = -12\) alors le coefficient directeur de la tangente est \(– 12\). On élimine donc les propositions 2 et 4.
La tangente a pour équation :
\(y = g '(2) (x – 2) + g(2)\) avec \( g '(2) = - 12\) et \(g(2) = -18\)
\((T) : y = - 12(x – 2) - 18 \) soit \(y = - 12x + 6\)
Question 4
Soit \(h\) la fonction définie sur \(]-\infty;3] \) par \(h(x) = \sqrt{(3-x) }\) et telle que \(h '(- 1) = - \dfrac{1}{4}\).
La tangente à \(C_h\) en \(-1\) a pour équation réduite :
\(y = -\dfrac{1}{4} x + 2\)
\(y = 2x-\dfrac{1}{4} \)
\(y = - \dfrac{1}{4}x+ \dfrac{7}{4}\)
\(y = - \dfrac{1}{4}x + \dfrac{9}{4}\)
Que représente \(h '(-1)\) pour cette tangente ?
Quelle proposition peux-tu alors éliminer ?
Quelle est l'équation de cette tangente ?
Comme \(h '( -1) = - \dfrac{1}{4}\) alors le coefficient directeur de la tangente est \(- \dfrac{1}{4}\). On élimine donc la proposition 2.
La tangente a pour équation :
\(y = h '(-1)(x – (- 1)) + h(-1) \) avec :
\( h '( -1) = - \dfrac{1}{4} \) et \(h(-1) = \sqrt{(3 –(- 1))} = 2\)
\((T) : y = - \dfrac{1}{4} (x + 1) + 2 \) soit :
\(y = - \dfrac{1}{4} + \dfrac{7}{4}\)
Question 5
On a représenté ci-dessous la courbe d'une fonction \(f\) ainsi que les tangentes horizontales. Donner les affirmations correctes :
L'équation \(f(x) = 0\) a 1 solutions.
L'équation \(f'(x) = 0\) a 2 solutions.
\(C_f\) admet 5 tangentes horizontales donc l'équation \(f '(x) = 0\) a 5 solutions.
\(f '(6) < 0\)
La tangente en 6 est associée à une fonction affine croissante et donc de coefficient directeur positif .
Son coefficient directeur est \(f '(6)\) et donc \(f '(6) > 0 \).
\(f '(4,5) > 0\)
Ne pas confondre \(f(x) = 0\) et \(f '(x) = 0\).
Où \(C_f\) coupe-t-elle l'axe des abscisses ? A quoi ces valeurs correspondent-elles ?
Quel est le coefficient directeur de la tangente lorsqu'elle est horizontale ?
La tangente en \(6\) n'est pas tracée mais si elle l'était serait-elle associée à une fonction affine croissante ou décroissante ? Quel serait alors le signe de son coefficient directeur ?
\(C_f \) coupe l'axe des abscisses en un point donc l'équation \(f(x) = 0\) a 1 solution.
\(C_f\) admet 5 tangentes horizontales donc l'équation \(f '(x) = 0\) a 5 solutions.
La tangente en 6 est associée à une fonction affine croissante et donc de coefficient directeur positif . Son coefficient directeur est \(f '(6)\) et donc \(f '(6) > 0 \).
De même \(f '(4,5) > 0\)
\(C_f \) coupe l'axe des abscisses en un point donc l'équation \(f(x) = 0\) a 1 solution.