L'énoncé
Cet exercice est un QCM. Cocher la ou les bonnes réponses.
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Question 1
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (x+1)^2\) et \(C_f\) sa courbe représentative dans un repère du plan. On admet que \(f\) est dérivable en \(2\), alors :
\(C_f\) passe par le point \(A(2 ; 9)\).
\(\large\frac{f(2+h) – f(2)}{h}\) tend vers \(9\) quand \(h\) tend vers \(0\).
\(f '(2) = 6\).
\(f '(2) = 9\).
\(A\) appartient à \(C_f\) si \(f(x_A) = y_A\)
Quelle est la définition de "\(f\) est dérivable en \(2\)" ?
Calcule \(\large\frac{f(2+h) – f(2)}{h}\)
Que vaut alors \(f '(2)\) ?
Quelle est la définition de "\(f\) est dérivable en \(2\)" ?
Calcule \(\large\frac{f(2+h) – f(2)}{h}\)
Que vaut alors \(f '(2)\) ?
\(f(2) = (2 + 1) ^2 = 9\) donc \(A(2 ; 9)\) appartient à \(C_f\).
\(f(2+h) = (3+h)^2 = h^2 + 6h + 9\)
D'autre aprt :
\(f(2) = 9\)
\(\begin{align*}\frac{f(2+h) – f(2)}{h} &= \frac{h^2 + 6h}{h}\\ &= h + 6\\ \end{align*}\)
Quand \(h\) tend vers \(0\), \(h + 6\) tend vers \(6\) donc \(f ' (2) = 6\).
\(f(2+h) = (3+h)^2 = h^2 + 6h + 9\)
D'autre aprt :
\(f(2) = 9\)
\(\begin{align*}\frac{f(2+h) – f(2)}{h} &= \frac{h^2 + 6h}{h}\\ &= h + 6\\ \end{align*}\)
Quand \(h\) tend vers \(0\), \(h + 6\) tend vers \(6\) donc \(f ' (2) = 6\).
Question 2
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 3x-5\). On admet que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\).
Soit \(a \in \mathbb{R}\) alors :
\(f '(a) = 0\).
\(f '(a) = 3\).
\(f '(a) = -5\).
\(f '(a) = 3a - 5\).
On cherche \(f '(a)\) pour \(a\) réel quelconque.
La démarche est identique à celle effectuée pour \(2\) ou \(– 3\).
Quelle est la définition de \(f '(a)\) ?
Calculer \(\dfrac{f(a+h) – f(a)}{h}\) et faire attention aux signes !
Que vaut alors \(f '(a)\) ?
La démarche est identique à celle effectuée pour \(2\) ou \(– 3\).
Quelle est la définition de \(f '(a)\) ?
Calculer \(\dfrac{f(a+h) – f(a)}{h}\) et faire attention aux signes !
Que vaut alors \(f '(a)\) ?
\(f(a + h) = 3(a + h) – 5 = 3a + 3h – 5\) et \(f(a) = 3a – 5\).
\(\dfrac{f(a+h) – f(a)}{h} = \dfrac{3h}{h} = 3\).
Même si \(h\) tend vers \(0\), \(3\) sera toujours égal à \(3\) ! Donc \(f '(a) = 3\).
\(\dfrac{f(a+h) – f(a)}{h} = \dfrac{3h}{h} = 3\).
Même si \(h\) tend vers \(0\), \(3\) sera toujours égal à \(3\) ! Donc \(f '(a) = 3\).
Question 3
Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = 7x^2 - 6\). On admet que \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\).
Soit \(a \in \mathbb{R}\) alors :
\(g '(a) = 14a - 6\).
\(g '(a) = 14 a\).
\(g '(a) = 7\).
\(g '(a) = 0\).
On cherche \(g '(a)\) pour \(a\) réel quelconque.
La démarche est identique à celle effectuée pour \(2 ou – 3\).
Quelle est la définition de \(g '(a)\) ?
On doit calculer \(\dfrac{g(a+h) – g(a)}{h}\). Attention aux signes !
Que vaut alors \(g '(a)\) ?
La démarche est identique à celle effectuée pour \(2 ou – 3\).
Quelle est la définition de \(g '(a)\) ?
On doit calculer \(\dfrac{g(a+h) – g(a)}{h}\). Attention aux signes !
Que vaut alors \(g '(a)\) ?
\(g(a + h) = 7(a + h)^2 - 6 = 7a^2 + 7h^2 + 14ah - 6\)
et \(g(a) = 7a^2 - 6\).
\(\dfrac{g(a+h) – g(a)}{h} = \dfrac{7h^2 + 14ah}{h} = 7h + 14a\).
Quand \(h\) tend vers \(0\) ,alors \( 7h + 14a\) tend vers \(14a\) donc \(g '(a) = 14a\).
Cela signifie qu'en particulier : \(g '(1) = 14\); \(g '(-2) = - 28\) ; \(g '(0,5) = 7\) ; etc.
et \(g(a) = 7a^2 - 6\).
\(\dfrac{g(a+h) – g(a)}{h} = \dfrac{7h^2 + 14ah}{h} = 7h + 14a\).
Quand \(h\) tend vers \(0\) ,alors \( 7h + 14a\) tend vers \(14a\) donc \(g '(a) = 14a\).
Cela signifie qu'en particulier : \(g '(1) = 14\); \(g '(-2) = - 28\) ; \(g '(0,5) = 7\) ; etc.
Question 4
Soit \(g\) la fonction définie sur \(D_g = ] 5\) ; \(+\infty [\) par \(g(x) = \sqrt{5 + x}\). On admet que \(g\) est dérivable sur \(D_g\).
Soit \(a \in D_g\) alors :
\(g '(a) = \dfrac{1}{2\sqrt{5 + a}}\)
\(g '(a) = \sqrt{5 + a}\)
\(g '(a) = \dfrac{1}{\sqrt{5 + a}}\)
\(g '(a) = \dfrac{\sqrt{5 + a}}{10+2a}\)
On cherche \(g '(a)\) pour \(a\) réel quelconque.
Quelle est la définition de \(g '(a)\) ?
Calcule \(\large\frac{g(a+h) – g(a)}{h}\) et fais attention aux signes ! Pense à l'expression conjuguée.
L'expression conjuguée de \(\sqrt{5 + a + h} – \sqrt{5 + a}\) est \(\sqrt{5 + a + h} + \sqrt{5 + a}\).
Que vaut alors \(g '(a)\) ?
Quelle est la définition de \(g '(a)\) ?
Calcule \(\large\frac{g(a+h) – g(a)}{h}\) et fais attention aux signes ! Pense à l'expression conjuguée.
L'expression conjuguée de \(\sqrt{5 + a + h} – \sqrt{5 + a}\) est \(\sqrt{5 + a + h} + \sqrt{5 + a}\).
Que vaut alors \(g '(a)\) ?
\(g(a + h) = \sqrt{5 + a + h}\) et
\(g(a) = \sqrt{5 + a}\).
\(\begin{align*} \frac{g(a+h) – g(a)}{h} &= \frac{\sqrt{5 + a + h} – \sqrt{5 + a}}{h}\\ &= \frac{(\sqrt{5+a+h} – \sqrt{5+a})( \sqrt{5+a+h} + \sqrt{5+a})} {h(\sqrt{5+a+h}+\sqrt{5+ a})}\\ &= \frac {\sqrt{(5 + a + h)} ^2– \sqrt{(5 + a)}^2} {h(\sqrt{5+a+h}+\sqrt{5+ a})}\\ &= \frac{h} {h(\sqrt{5+a+h}+\sqrt{5+ a})}\\ &= \frac{1} {\sqrt{5+a+h}+\sqrt{5+ a}} \end{align*}\)
Quand \(h\) tend vers \(0\), \(\sqrt{5 + a + h}\) tend vers \(\sqrt{5 + a}\) donc \(\sqrt{5+a+h}+\sqrt{5+ a}\) tend vers \(2\sqrt{5 + a}\)
Ainsi, \(\dfrac{g(a+h) – g(a)}{h}\) tend vers \(\dfrac{1}{2\sqrt{5 + a}}\).
Donc, \(g '(a) = \dfrac{1}{2\sqrt{5 + a}}\).
Cela signifie qu'en particulier : \(g '(1) = \dfrac{1}{2\sqrt{6}}\); \(g '(4) = \dfrac{1}{2\sqrt{9}} = \dfrac{1}{6}\) etc.
\(g(a) = \sqrt{5 + a}\).
\(\begin{align*} \frac{g(a+h) – g(a)}{h} &= \frac{\sqrt{5 + a + h} – \sqrt{5 + a}}{h}\\ &= \frac{(\sqrt{5+a+h} – \sqrt{5+a})( \sqrt{5+a+h} + \sqrt{5+a})} {h(\sqrt{5+a+h}+\sqrt{5+ a})}\\ &= \frac {\sqrt{(5 + a + h)} ^2– \sqrt{(5 + a)}^2} {h(\sqrt{5+a+h}+\sqrt{5+ a})}\\ &= \frac{h} {h(\sqrt{5+a+h}+\sqrt{5+ a})}\\ &= \frac{1} {\sqrt{5+a+h}+\sqrt{5+ a}} \end{align*}\)
Quand \(h\) tend vers \(0\), \(\sqrt{5 + a + h}\) tend vers \(\sqrt{5 + a}\) donc \(\sqrt{5+a+h}+\sqrt{5+ a}\) tend vers \(2\sqrt{5 + a}\)
Ainsi, \(\dfrac{g(a+h) – g(a)}{h}\) tend vers \(\dfrac{1}{2\sqrt{5 + a}}\).
Donc, \(g '(a) = \dfrac{1}{2\sqrt{5 + a}}\).
Cela signifie qu'en particulier : \(g '(1) = \dfrac{1}{2\sqrt{6}}\); \(g '(4) = \dfrac{1}{2\sqrt{9}} = \dfrac{1}{6}\) etc.
Question 5
Soit \(g\) la fonction définie sur \(D_g = \mathbb{R}\setminus\{3\}\) par \(g(x) = \dfrac{1}{x - 3}\). On admet que \(g\) est dérivable sur \(D_g\).
Soit \(a \in D_g\) alors :
\(g '(a) = 0\)
\(g '(a) = \dfrac{1}{a – 3}\)
\(g '(a) = \dfrac{-6}{a – 3}\)
\(g '(a) =\dfrac{-1}{(a – 3)^2}\)
On cherche \(g '(a)\) pour \(a\) réel quelconque. Quelle est la définition de \(g '(a)\) ?
On doit calculer \(\large\frac{g(a+h) – g(a)}{h}\). Commencer par le calcul de \(g(a+h) – g(a)\) et effectuer une réduction au même dénominateur; attention aux signes !
Faire tendre \(h\) vers \(0\) (cela signifie que \(h\) se rapproche de plus en plus de \(0\)).
Que vaut alors \(g '(a)\) ?
On doit calculer \(\large\frac{g(a+h) – g(a)}{h}\). Commencer par le calcul de \(g(a+h) – g(a)\) et effectuer une réduction au même dénominateur; attention aux signes !
Faire tendre \(h\) vers \(0\) (cela signifie que \(h\) se rapproche de plus en plus de \(0\)).
Que vaut alors \(g '(a)\) ?
\(g(a + h) = \dfrac{1}{a + h - 3}\) et \(g(a) = \dfrac{1}{a -3}\)
\(\begin{align*}g(a+h) – g(a) &= \frac{1}{a + h - 3} - \frac{1}{a -3}\\ &= \frac{a -3}{(a + h – 3)(a – 3)} - \frac{a + h - 3}{(a + h – 3)(a – 3)}\\ &= \frac{a -3 – a – h + 3}{(a + h – 3)(a – 3)}\\ &= \frac{– h}{(a + h – 3)(a – 3)} \end{align*}\)
\(\dfrac{g(a+h) – g(a)}{h} = \dfrac{– 1}{(a + h – 3)(a – 3)}\)
Quand \(h\) tend vers \(0\), \((a + h – 3)(a – 3)\) tend vers \((a - 3) (a - 3) = (a - 3)^2\) et donc :
\(\dfrac{g(a+h) – g(a)}{h}\) tend vers \(\dfrac{– 1}{(a – 3)^2}\)
Cela signifie qu'en particulier : \(g '(1) = \dfrac{-1}{4}\); \(g '(4) = -1\); \(g '(0) = \dfrac{ -1}{9}\) etc.
Dans ce QCM tu as vu plusieurs méthodes pour calculer un nombre dérivée :
\(\begin{align*}g(a+h) – g(a) &= \frac{1}{a + h - 3} - \frac{1}{a -3}\\ &= \frac{a -3}{(a + h – 3)(a – 3)} - \frac{a + h - 3}{(a + h – 3)(a – 3)}\\ &= \frac{a -3 – a – h + 3}{(a + h – 3)(a – 3)}\\ &= \frac{– h}{(a + h – 3)(a – 3)} \end{align*}\)
\(\dfrac{g(a+h) – g(a)}{h} = \dfrac{– 1}{(a + h – 3)(a – 3)}\)
Quand \(h\) tend vers \(0\), \((a + h – 3)(a – 3)\) tend vers \((a - 3) (a - 3) = (a - 3)^2\) et donc :
\(\dfrac{g(a+h) – g(a)}{h}\) tend vers \(\dfrac{– 1}{(a – 3)^2}\)
Cela signifie qu'en particulier : \(g '(1) = \dfrac{-1}{4}\); \(g '(4) = -1\); \(g '(0) = \dfrac{ -1}{9}\) etc.
Dans ce QCM tu as vu plusieurs méthodes pour calculer un nombre dérivée :
- Pour une fonction polynôme : développement
- Pour une fonction inverse : réduction au même dénominateur
- Pour une fonction racine carré : utilise