L'énoncé
On considère :
- Un cône de révolution de hauteur \(h_1 = 12\) cm et dont le disque de base a pour rayon \(R_1 = 5\) cm.
- Un cylindre de révolution de hauteur \(h_2\) et dont le disque de base a pour rayon \(R_2 = 2,5\) cm.
- Une sphère de rayon \(R_3 = 4,2\) cm.
Question 1
Calculer \(h_2\) sachant que le cône et le cylindre ont le même volume.
On a:
Volumecône = \( \dfrac{1}{3} \times\) Aire base \(\times \) hauteur
Volumecône = \( \dfrac{1}{3} \times \pi \times R{_1}^2 \times h_1\)
Volumecône = \(\dfrac{1}{3} \times \pi \times 5^2 \times 12\)
Volumecône = \( \pi \times 5^2 \times 4\)
Volumecône = \(100\pi\)
De même,
Volumecylindre = Aire base \(\times \) hauteur
Volumecylindre = \( \pi \times R{_2}^2 \times h_2\)
Volumecylindre = \( \pi \times 2,5^2 \times h_2\)
Volumecylindre = \( 6,5 \times \pi \times h_2\)
Or Volumecylindre = Volumecône
Donc, \( 6,5 \times \pi \times h_2 = 100\pi \)
D'où, \( h_2 = \dfrac{100 \times \pi}{6,25 \times \pi} = 16\)
Le cône et le volume ont le même volume lorsque \(h_2\) est égal à \(16\) cm.
Il va falloir utiliser les formules des volumes du cône et du cylindre… Vous les connaissez ?
Volumecône = \( \dfrac{1}{3} \times\) Aire base \(\times \) hauteur
Volumecylindre = Aire base \(\times \) hauteur
Le volume de cône va donc être connu. Mais pas celui du cylindre qui dépend de \(h_2\). Ces deux volumes étant égaux, vous allez donc fabriquer une équation dont l’inconnue est \(h_2\). Bonne résolution ;-)
Question 2
Le volume de la sphère est-il plus grand que celui du cône ?
Le volume du cône a été calculé dans le 1) :
Volumecône = \( 100 \pi\ \approx 314 cm^3\)
Calculons maintenant le volume de la sphère de rayon \(R_3\) :
Volumesphère = \( \dfrac{4}{3} \times \pi \times R{_3}^3\) = \( \dfrac{4}{3} \times \pi \times 4,2^3 \approx 310 cm^3\)
Par conséquent, le volume de la sphère n'est pas plus grand que celui du cône.
Le volume du cône a été calculé dans le 1), il suffit donc de calculer celui de la sphère.
Volumesphère = \( \dfrac{4}{3} \times \pi \times R^3\)
Question 3
On veut peindre la surface totale du cylindre ainsi que la surface de la sphère.
Calculer en fonction de \(h_2\) et de \(R_2\) l'aire latérale du cylindre.
Nous savons que la surface latérale du cylindre a pour patron un rectangle. Ce rectangle a pour longueur la hauteur du cylindre (c'est-à-dire \(h_2\)), et pour largeur la longueur du cercle de base, or cette longueur s'obtient grâce à la formule :
Longueurcercle = \( 2 \times \pi \times R\)
On peut donc maintenant exprimer l'aire de ce rectangle :
Airerectangle = \( L \times l = h_2 \times 2 \times \pi \times R_2 = 2\pi h_2 R_2\)
L’aire latérale a pour patron un rectangle. Recherchez sa longueur et sa largeur.
Ce rectangle a pour longueur la hauteur du cylindre (c’est-à-dire \(h_2\)).
Ce rectangle a pour largeur la longueur du cercle de base. Calculez la longueur de ce cercle grâce à la formule :
Longueurcercle = \( 2 \times \pi \times R\)
Question 4
Calculer en fonction de \(h_2\) et de \(R_2\) l'aire totale du cylindre.
Pour calculer l'aire totale du cylindre, il va falloir ajouter à l'aire latérale (calculée à la question 3) les aires des deux disques de base quon obtient par la formule :
Airedisque = \(\pi\times R{_2}^2\), calcul que l'on va doubler puisqu'il y a deux disques.
Conclusion : L'aire totale du cylindre est donnée par la formule :
Airetotale = Airerectangle + 2 x Airedisque
Airetotale = \(2\pi h_2 R_2 + 2\pi R{_2}^2 = 2\pi(h_2 R_2 + R{_2}^2)\)
Pour calculer l’aire totale du cylindre, il va falloir ajouter à l’aire latérale, (calculée à la question 3), les aires des deux disques de base.
L’aire des deux disques de base s’obtient grâce à la formule :
Airedisque = \(\pi\times R^2\)
N’oubliez pas de multiplier par 2 … car il y en a deux !
Question 5
Calculer en fonction de \(R_3\) l'aire de la sphère.
On utilise la formule :
Airesphère = \( 4 \times \pi \times R^2 = 4 \times \pi \times R{_3}^2 = 4 \pi R{_3}^2\)
L’aire de la sphère s’obtient grâce à la formule :
Airesphère = \( 4 \times \pi \times R^2\)
Question 6
Donner une valeur approchée à 1 cm2 près par excès de l'aire de la surface à peindre.
On va donc ajouter les aires du cylindre et de la sphère :
Aireà peindre = Airecylindre + Airesphère
Aireà peindre = \(2 \pi(h_2 R_2 + R{_2}^2) + 4 \pi R{_3}^2\)
Aireà peindre = \(2 \pi(16 \times 2,5 + 2,5^2) + 4 \pi 4,2^2\)
Aireà peindre \( \approx 513 cm^3\)
On se souvient qu’on veut peindre le cylindre ET la sphère, il faut donc additionner les aires.
Airecylindre = \(2 \pi(h_2 R_2 + R{_2}^2)\)
Airesphère = \(4 \pi R{_3}^2\)
Pour terminer, il faudra prendre la valeur approchée à 1 cm2 par excès. Si vous avez du mal, encadrez le résultat donné par la machine par deux entiers consécutifs, la valeur approchée par excès est le plus grand de ces deux entiers.
Question 7
Pour exécuter ce travail, on utilise une peinture dont le pouvoir couvrant est de 3 m2/L.
De plus, on passe 2 couches de peinture. Quelle quantité de peinture sera nécessaire ? Vous donnerez un résultat exprimé en cL.
Première étape, on va convertir nos 513 cm2 en m2.
On a donc : 513 cm2 = 5,13 dm2 = 0,0513 m2.
Or, on passe 2 couches, donc la surface à peindre est, en fait, de 2 × 0,0513 = 0,1026 m2.
De plus, il y a proportionnalité entre la surface à peindre et le volume de peinture nécessaire. (1 litre permet de peindre 3 m2.) On peut utiliser le tableau suivant :
| Volume de peinture (en L) | 1 | x |
| Surface à peindre (en m2) | 3 | 0,1026 |
Donc \(x = \dfrac{0,1026}{3} \ \) d'après l'égalité des produits en croix.
D'où \(x = 0,0342 \ L\)
Il suffit maintenant de convertir en cL :
\(x = 0,0342 \ L = 3,42 \ cL \)
La quantité de peinture nécessaire est de 3,42 cL.
La surface à peindre est de 513 cm2, il faut commencer bien sûr par convertir cette aire en m2.
Puis la multiplier par deux, puisqu’on passe 2 couches de peinture.
Pour connaître la quantité de peinture nécessaire, rappelez-vous qu’il y a proportionnalité entre la surface à peindre et le volume de peinture.
Le volume de peinture trouvé est en L. N’oubliez pas de le convertir en cL, comme il est demandé dans la consigne.