L'énoncé
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Question 1
Antoine participe à une compétitions de natation contre 19 autres participants.
Combien y-a-t-il de podium possibles ?
455
780
1140
6840
Ici l'ordre est important : le podium n'est pas forcément le même, même s'il contient les 3 mêmes personnes.
Ainsi ce n'est pas une situation ou l'on utilise des coefficients binomiaux.
Pour le premier on a 20 choix, puis 19 pour le deuxième et 18 pour le troisième.
Ainsi, il y a $20\times19\times18=6840$ choix
Question 2
Combien y a-t-il de podiums différents où Antoine serait premier ? (il y a toujours 19 autres participants)
3
12
134
342
Si Antoine est premier, alors il y a 1 seul choix pour la première place.
Il y a ensuite 19 choix possibles pour la deuxième place et 18 choix possibles pour la troisième place.
Il y a donc $1\times19\times18=342$ choix
Question 3
Combien y a-t-il de podiums contenant Antoine ? (il y a toujours 19 autres participants)
1026
1265
3290
4002
Cette fois-ci Antoine peut être à 3 places possibles.
Chacun de ces cas est distinct (si Antoine est à une place, il ne peut pas être à une autre place en même temps).
Ensuite, pour chacune des 3 possibilités, il y a 19 choix pour le deuxième et 18 choix pour le troisième.
Il y a donc $3\times19\times18=1026$ podiums possibles contenant Antoine.
Question 4
On suppose que tous les nageurs ont la même chance de gagner. Quelle est la probabilité qu'Antoine soit sur le podium ?
0,15
0,20
0,30
0,33
Si les nageurs ont autant de chances de gagner, alors Antoine a 1 chance sur 20 d'être à n'importe quelle place.
Ainsi, la probabilité qu'il soit premier est $\dfrac{1}{20}$, qu'il soit deuxième $\dfrac{1}{20}$, et troisième $\dfrac{1}{20}$.
Ainsi, la probabilité qu'il soit sur le podium est $\dfrac{3}{20}=0,15$.
On remarque que cela correspond au nombre de podium qui contiennent Antoine sur le nombre total de podium possible.
Question 5
Supposons que les trois nageurs sur le podium obtiennent la même récompense. Combien y a-t-il de distributions de récompenses possibles ?
540
1140
2480
4620
Cette fois-ci l'ordre n'a plus d'importance. On cherche le nombre de compositions de 3 nageurs parmi 20.
On a donc :
$\binom{20}{3}=1140$