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Question 1
Comment montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ ?
$F$ est une primitive de $f$ si pour tout $x \in I$, $F'(x) = f(x)$.
$F$ est une primitive de $f$ si $F$ est dérivable sur $I$ et que pour tout $x \in I$, $F'(x) = f(x)$.
$F$ est une primitive de $f$ si $F$ est solution de $y' = f$.
On pourra revoir la vidéo du cours au besoin.
Question 2
Soit $F$ une fonction définie pour tout réel $x$ par $F(x) = \dfrac{4}{3}x^3 - x^2 + 56$. De quelle fonction $F$ est-elle une primitive ?
$f(x) = 4x^2 - 2x$
$F$ est dérivable pour tout $x \in \mathbb{R}$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.
En outre, soit $x \in \mathbb{R}$, $F'(x) = \dfrac{4}{3}\times 3x^{3-1} - 2x^{2-1} + 0 = 4x^2 - 2x$
$f(x) = \dfrac{4}{3}x^2 - x$
$f(x) = 4x - 2x + 56$
On pourra montrer que $F$ est dérivable...
...puis calculer sa dérivée.
Question 3
Donner la ou les fonctions solution(s) de l'équation $y' = 4x^2 - 2x$.
$y = 12x - 2$
$y = \dfrac{4}{3}x^3 - x^2 + 56$
On a montré à la question précédente que $F(x) = \dfrac{4}{3}x^3 - x^2 + 56$ était une primitive de $f(x) = 4x^2 - 2x$ donc $y = \dfrac{4}{3}x^3 - x^2 + 56$ est solution de l'équation différentielle $y' = 4x^3 - 2x$.
$y = \dfrac{4}{3}x^3 - x^2$
On remarque que cette fonction est similaire à $F(x) = \dfrac{4}{3}x^3 - x^2 + 56$ : seule une constante les différencie. Or, la dérivée d'une constante est nulle. Donc la dérivée de $\dfrac{4}{3}x^3 - x^2$ est aussi $4x^2 - 2x$. Ainsi $y = \dfrac{4}{3}x^3 - x^2$ est aussi solution de l'équation différentielle.
On pourra trouver une primitive de $4x^2 - 2x$...
... et s'aider de la question précédente.
Question 4
Que peut-on déduire de la question précédente ?
Il existe une seule et unique solution à une équation différentielle.
Si une équation différentielle admet une solution, alors il en existe une infinité.
En effet, on a trouvé deux solutions à l'équation différentielle précédente, qui diffèrent d'une constante.
La primitive est unique.
Combien de solutions a-t-on trouvé à l'équation précédente ?
Question 5
Donner la ou les solutions de l'équation différentielle $y' = 3$.
$3x$
En effet, on cherche une fonction dont la dérivée vaut $3$. Une de ces fonctions vaut donc $y = 3x$.
$3x - 2$
En effet, on cherche une fonction dont la dérivée vaut $3$. Une de ces fonctions vaut donc $y = 3x + 2$ car la dérivée d'une constante est nulle.
$3x^2 - 2$
On cherche des fonctions dont la dérivée vaut $3$...
C'est une définition.