L'énoncé
Répondre aux questions suivantes.
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Question 1
Si une fonction admet une primitive, alors elle est unique.
Vrai
Faux
Question 2
Deux primitives d'une même fonction sont forcément égales.
Vrai
Faux
Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.
Question 3
Que signifie : Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante ?
Si $F$ et $G$ deux primitives de $f$, alors $ F - G = 0$.
Si $F$ et $G$ deux primitives de $f$, alors $ F - G = f$.
Si $F$ et $G$ deux primitives de $f$, alors $ F - G = c$, avec $c$ une constante.
Cela signifie que $F = G + c$ avec $c$ une constante.
Question 4
Comment démontre-t-on ce résultat ?
On l'admet.
On utilise une nouvelle fonction.
On pose $H(x) = F(x) - G(x)$.
On dérive $f$.
Question 5
On pose $H(x) = F(x) - G(x)$, avec $F$ et $G$ deux primitives de $f$. Que veut-on montrer ?
Que $H$ est une constante.
Si on parvient à le démontrer, on aura alors démontrer que $F - G = c$ avec $c$ une constante ; ce qui revient à dire que deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.
Que $H$ est nulle.
Que $H$ est une primitive de $f$.
Question 6
Pourquoi dérive-t-on $H(x) = F(x) - G(x)$ ?
Pour pouvoir intégrer l'équation.
Car on ne connaît que les dérivées de $F$ et $G$.
En effet, $F' = G' = f$.
Question 7
Pourquoi $G' = f$ ?
Car $f$ est la dérivée de $G$.
Par unicité de la primitive.
Car $G$ est une primitive de $f$.
En effet, par définition d'une primitive on sait que $G' = f$.
Question 8
Que vaut $H'(x)$ ?
$0$
En effet, $H'(x) = F'(x) - G'(x) = f(x) - f(x)$ par définition d'une primitive. Ainsi, $H'(x) = 0.$
$c$ avec $c$ une constante.
$f$
Question 9
Pourquoi peut-on conclure que $H(x) = c$, avec $c$ une constante ?
Car une primitive de $H$ est nulle.
Car sa dérivée est nulle.
En effet, si une fonction a une dérivée nulle, cela signifie que cette fonction est une constante.
Ainsi, $H(x) = c$ donc $F(x) - G(x) = c$.
Deux primitives d'une même fonction différent donc d'une constante.
Car $F$ et $G$ sont deux primitives de $f$ donc égales.
Question 10
Deux primitives d'une même fonction sont égales à une constante près.
Vrai
En effet, $F - G = c$ avec $c$ une constante donc $F$ et $G$ sont égales à une constante près.
Faux
Deux primitives d'une même fonction différent d'une constante.