L'énoncé
Répondre aux questions suivantes.
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Question 1
Donner les solutions de l'équation différentielle : $y' = 0$.
$y = 0$
$y = Ce^x$, avec $C$ une constante réelle.
$y = C$, avec $C$ une constante réelle.
On cherche une fonction dont la dérivée est nulle...
Question 2
Donner la forme générale des solutions de l'équations $y' = 3y$.
$Ce^{3x}$, avec $C$ une constante réelle.
L'équation est de la forme $y' = ay$ avec $a = 3$. On applique donc le résultat du cours.
La forme générale des solutions est $Ce^{3x}$ avec $C$ une constante réelle.
$e^{3x}$
$Ce^{-3x}$, avec $C$ une constante réelle.
On appliquera la propriété du cours.
Question 3
Donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle : $y' - 6y = 0$.
$Ce^{-6x}$ avec $C$ une constante réelle.
$e^{-6x}$
$Ce^{6x}$ avec $C$ une constante réelle.
On se ramène au cas du cours :
$y' - 6y = 0 \iff y' = 6y$. C'est donc une équation de la forme $y' = ay$ avec $a = 6$.
La propriété du cours donne directement la forme générale des solutions :
$y' = Ce^{6x}$ avec $C$ une constante réelle.
On pourra se ramener au cas étudié dans la vidéo.
Question 4
Donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle : $4y' + 3y = 0$.
$Ce^{\frac{3x}{4}}$, avec $C$ une constante réelle.
$Ce^{-\frac{3x}{4}}$, avec $C$ une constante réelle.
On se ramène au cas étudié en cours.
$4y' + 3y = 0 \iff 4y' = - 3y \iff y' = -\dfrac{3}{4}y$.
C'est donc une équation de la forme $y' = ay$ avec $a = -\dfrac{3}{4}$.
Ainsi, la forme générale des solutions est $Ce^{-\frac{3x}{4}}$, avec $C$ une constante réelle.
$Ce^{-3x}$, avec $C$ une constante réelle.
On se ramènera à une équation de la forme $y' = ay$ avec $a$ un nombre réel que l'on déterminera.
Question 5
Donner les solutions de l'équation $3 - 2y = 0$.
$y = \dfrac{3}{2}$.
Il s'agit d'un équation du premier degré. On trouve facilement que $y = \dfrac{3}{2}$.
$Ce^{\frac{2}{3}x}$ avec $C$ une constante réelle.
$Ce^{-\frac{2}{3}x}$ avec $C$ une constante réelle.
Il n'y a pas de faute de frappe.
En effet, on cherche une fonction dont la dérivée est nulle : c'est une fonction constante.
Une autre manière de répondre à la question est de remarquer qu'il s'agit d'une équation de la forme $y' = ay$ avec $a = 0$.
Donc les solutions sont de la forme $Ce^{ax}= Ce^{0x}= C \times 1 = C$.