L'énoncé
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Question 1
Quand dit-on que $\overrightarrow{w}$ est une combinaison linéaire de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ?
Si il existe $\alpha\in \mathbb{R}$ tel que $\overrightarrow{w} = \alpha \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$
Si il existe $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ tels que $\overrightarrow{w} = \alpha \overrightarrow{u} + \beta \overrightarrow{v}$
Si il existe $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ tels que $\overrightarrow{w} = \alpha \overrightarrow{u}$ et $ \overrightarrow{w} = \beta \overrightarrow{v}$
Question 2
On suppose que $\overrightarrow{w}$ est une combinaison linéaire de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.
Alors $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont
coplanaires
C'est la bonne réponse !
colinéaires
coexistant.
Question 3
On suppose que $\overrightarrow{w}$ est une combinaison linéaire de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.
Alors $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$
appartiennent à la même droite.
sont orthogonaux entre eux.
appartiennent à un même plan.
C'est la bonne réponse !
Question 4
On peut montrer que $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires uniquement en utilisant des coordonnées.
Vrai
Faux
En effet, on peut utiliser la relation de Chasles comme dans l'exercice 1 de la vidéo.
Question 5
Il n'existe qu'une seule méthode pour déterminer que $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires.
Vrai
Faux
En effet, on peut utiliser des coordonnées, la relation de Chasles,... Le choix du vecteur que l'on souhaite exprimer en fonction des deux autres n'importe peu.
Question 6
Si $\overrightarrow{u} = - 3\overrightarrow{v}+ 0 \overrightarrow{w}$, alors
$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires.
En effet, il existe deux réels qui permettent d'exprimer un vecteur en fonction des deux autres.
$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ ne sont pas coplanaires.
$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont orthogonaux.
Question 7
Si $\overrightarrow{u} = 0\overrightarrow{v}+ 0 \overrightarrow{w}$, alors
$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires.
$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ ne sont pas coplanaires.
En effet, $\overrightarrow{u}$ est égal au vecteur nul, ce qui est exclu dans les hypothèses de départ.
$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont orthogonaux.
Question 8
Si $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires, alors
$\overrightarrow{v}$ est une combinaison linéaire de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{w}$
C'est la bonne réponse.
il n'existe pas de réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $\overrightarrow{v} = \alpha \overrightarrow{u}+ \beta \overrightarrow{w}$
Question 9
Si $\overrightarrow{u}$ est une combinaison linéaire de $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$, alors $\overrightarrow{v}$ est une combinaison linéaire de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{w}$.
Vrai
En effet, si il existe $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$, alors $\overrightarrow{u} = \alpha \overrightarrow{v} + \beta \overrightarrow{w}$.
$\overrightarrow{u} = \alpha \overrightarrow{v} + \beta \overrightarrow{w}$
$\iff \dfrac{1}{\alpha}\overrightarrow{u} - \dfrac{\beta}{\alpha} \overrightarrow{w} = \overrightarrow{v}$
En posant $\alpha' = \dfrac{1}{\alpha}$ et $\beta' = - \dfrac{\beta}{\alpha}$ on a
$\alpha' \overrightarrow{u} +\beta' \overrightarrow{w} = \overrightarrow{v}$
$\overrightarrow{v}$ est donc une combinaison linéaire de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{w}$
Faux
Question 10
La notion de vecteurs coplanaires n'a de sens que dans l'espace.
Vrai
En effet, dans le plan, toutes les droites sont coplanaires car appartiennent aux même plan.
Faux
C'est la bonne réponse !