L'énoncé
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Question 1
$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ constituent une base de l'espace si et seulement si
$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont non nuls
il n'existe pas de combinaisons linéaires de $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$.
il existe au moins une combinaison linéaire de $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$.
Question 2
Que signifie : il n'existe pas de combinaisons linéaires de $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$?
Si $\alpha \overrightarrow{u}+\beta \overrightarrow{v} + \gamma \overrightarrow{w} = \overrightarrow{0}$ alors $\alpha \neq 0$
Si $\alpha \overrightarrow{u}+\beta \overrightarrow{v} + \gamma \overrightarrow{w} = \overrightarrow{0}$ alors au plus un coefficient multiplicateur est nul.
Si $\alpha \overrightarrow{u}+\beta \overrightarrow{v} + \gamma \overrightarrow{w} = \overrightarrow{0}$ alors $\alpha = \beta = \gamma = 0$.
C'est en effet la bonne propriété.
Question 3
Un repère et une base de l'espace sont deux notions différentes.
Vrai
Faux
En effet, cela désigne la même chose
Question 4
Si $\alpha = \beta = \gamma = 0$ lorsque $\alpha \overrightarrow{u}+\beta \overrightarrow{v} + \gamma \overrightarrow{w} = \overrightarrow{0}$, alors
$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ ne sont pas coplanaires.
En effet, cela signifie qu'ils n'appartiennent pas au même plan.
$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires.
$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont colinéaires.
Question 5
Que permet un repère ou une base de l'espace ?
On se le demande encore
A calculer des coordonnées
En effet, les coordonnées permettent de repérer les points de l'espace, facilitant la résolution de certaines problèmes.
A pouvoir se poser
Question 6
Comment démontrer que trois vecteurs forment une base de l'espace ?
On montre qu'ils ne sont pas colinéaires.
On les dessine sur le brouillon.
On montre qu'il n'existe pas de combinaisons linéaires de $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$.
On applique en effet la définition.
Question 7
On suppose que $\alpha \overrightarrow{u}+\beta \overrightarrow{v} + \gamma \overrightarrow{w} = \overrightarrow{0}$ et on montre que $\alpha = - \beta = 1$, que peut on conclure sur $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ ?
$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ ne forment pas une base de l'espace.
En effet, si la condition de nullité des coefficients n'est pas remplie alors les vecteurs ne forment pas une base de l'espace.
$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ forment un repère de l'espace.
$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ forment une base de l'espace.
Question 8
Deux vecteurs peuvent-ils former une base de l'espace ?
Oui
Non
En effet, deux vecteurs, si ils ne sont pas colinéaires, forment un plan, mais ne permettent donc pas de représenter l'espace.
Question 9
Trois vecteurs non colinéaires forment une base de l'espace.
Oui
Non
En effet, ils peuvent être coplanaires.
Question 10
Si il n'existe pas de combinaisons linéaires de $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ alors
on ne peut rien dire.
$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ forment un repère de l'espace.
C'est la définition.
$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ forment un repère du plan.
En effet, cela signifie en outre que lorsque $\alpha \overrightarrow{u}+\beta \overrightarrow{v} + \gamma \overrightarrow{w} = \overrightarrow{0}$ alors $\alpha = \beta = \gamma = 0$.