L'énoncé
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Question 1
Calculer la dérivée seconde de $x \mapsto 4\cos(3x)$ définie pour tout réel $x$.
$36\cos(3x)$
$-12\sin(3x)$
$-36\cos(3x)$
On procédera à deux dérivations successives.
Question 2
Calculer la dérivée seconde de la fonction $x \mapsto e^{x\ln(2)}$
$2\ln(2)e^{x\ln(2)}$
$(\ln(2))^2e^{x\ln(2)}$
En effet, la fonction exponentielle est une fonction deux fois dérivables.
Soit $x \in \mathbb{R}$,
La dérivée de $x \mapsto e^{x\ln(2)}$ est $x \mapsto \ln(2)e^{x\ln(2)}$.
En outre, la dérivée de $x \mapsto \ln(2) e^{x\ln(2)}$ est $x \mapsto (\ln(2))^2 e^{x\ln(2)}$.
Ainsi, la dérivée seconde est $x \mapsto (\ln(2))^2 e^{x\ln(2)}$.
$\ln(4)e^{x\ln(2)}$
On procèdera à deux dérivations successives.
Question 3
Calculer la dérivée seconde de $4x^2 -16x + 400$ pour tout réel $x$.
$400$
$8x$
$8$
En effet, toute fonction polynomiale est deux fois dérivables.
Soit $x \in \mathbb{R}$,
La dérivée de $x \mapsto 4x^2 -16x + 400$ est $x \mapsto 8x - 16$.
La dérivée de $x \mapsto 8x - 16$ est $x \mapsto 8$.
Finalement la dérivée seconde de $x \mapsto 4x^2 -16x + 400$ est $x \mapsto 8$.
On procèdera à deux dérivations successives.
Question 4
Calculer la dérivée seconde de $\dfrac{3}{x}$ pour tout $x \in \mathbb{R}^*$.
$\dfrac{3}{x^3}$
$-\dfrac{6}{x^3}$
$\dfrac{6}{x^3}$
En effet, la fonction est deux fois dérivables en tant que fonction rationnelle.
Soit $x \in \mathbb{R}^*$,
La dérivée de $x \mapsto \dfrac{3}{x}$ est $x \mapsto -\dfrac{3}{x^2}$.
La dérivée de $x \mapsto -\dfrac{3}{x^2}$ est $x \mapsto \dfrac{6}{x^3}$.
La dérivée seconde est de $x \mapsto \dfrac{3}{x}$ est donc $x \mapsto \dfrac{6}{x^3}$.
On procédera à deux dérivations successives.
Question 5
Calculer la dérivée seconde de $x \mapsto e^x$ pour tout réel $x$.
$x^2e^x$
$e^x$
En effet, la dérivée de la fonction exponentielle est la fonction elle même : sa dérivée seconde vaut donc la fonction exponentielle.
$2e^x$
On procèdera à deux dérivations successives.
La fonction $\cos(x)$ est une fonction deux fois dérivables.
En outre, la dérivée de $x \mapsto 4\cos(3x)$ est $x \mapsto -12\sin(3x)$.
La dérivée de $x \mapsto -12\sin(3x)$ est $-36\cos(3x)$
Ainsi, la dérivée seconde de $x \mapsto 4\cos(3x)$ est $-36\cos(3x)$