L'énoncé
On considère le polynôme P défini par : \(P(z) = z^4-6z^3+24z^2-18z+63\)
Question 1
Calculer \(P(i\sqrt{3})\) et \(P(-i\sqrt{3})\).
Montrez ensuite qu'il existe un polynôme \(Q\) du second degré à coefficients réels, que l'on déterminera, tel que, pour tout \(z \in \mathbb{C}\), on ait :
\(P(z)=(z^2+3)Q(z)\)
\(P(i\sqrt{3}) = 9 -6(-i3\sqrt{3})-72-i18\sqrt{3}+63=0\)
\(P(-i\sqrt{3}) = 9-6(i3\sqrt{3})-72+i18\sqrt{3}+63 =0\)
Puisque \(i\sqrt 3\) et \(-i\sqrt 3\) sont des racines du polynôme, on peut l'écrire sous la forme :
\(P(z) =(z-(-i\sqrt 3))(z-i\sqrt 3)\times Q(z)\) Avec \(Q\) un polynôme du second degré de la forme : \(Q(z) = az^2 + bz+c\).
On vérifie que \(P\) reste bien de degré 4.
En développant \(P(z)\), il vient :
\(P(z) = (z^2+3)(z^2+az+b)\)
\(P(z)=z^4+az^3+(3+b)z^2+3az+3b\)
D'autre part, on sait que \(P(z) = z^4-6z^3+24z^2-18z+63\)
Ainsi en identifiant les coefficients de ces deux expressions, on obtient :
\(\left\{ \begin{array}{left} a =-6 \\ 3+b=24 \\ 3a = -18\\ 3b = 63 \end{array}\right. \)
Finalement, \(a=-6\) et \(b=21\).
Conclusion : \(P(z) = (z^2+3)(z^2-6z+21)\)
Calculez \(P(i\sqrt{3})\) et \(P(-i\sqrt{3})\). Posée ainsi, vous pouvez vous attendre à trouver un résultat remarquable.
Si \(P(z_0) = 0\) alors \(z_0\) est une racine de $P$.
Si \(z_0\) est une racine, \(P\) se factorise \(P(z) =(z-z_0)R(z)\) où \(R\) est un polynôme de degré 3.
Si \(P\) a deux racines, la factorisation se poursuit.
On pose \(Q(z) = az^2 + bz+c\) et en développant les deux membres de l’égalité, on identifie les deux polynômes.
Trouver \(Q(z)\) revient aussi à diviser \(P(z)\) par \((z^2+3)\). La division d'un polynôme par un autre se pose comme une division Euclidienne. La méthode consiste à se préoccuper des termes de plus haut degré du dividende.
Question 2
Résoudre dans \(\mathbb{C}\), l'équation \(P(z) = 0\).
Résolvons \(z^2-6z+21=0\)
\(\Delta = 36-84=-48=(4i\sqrt{3})^2\),
\(\Delta\) est négatif, on a donc deux racines complexes conjuguées :
\(z_1 = \dfrac{6+4i\sqrt{3}}{2} = 3+2i\sqrt{3}\)
\(z_2 = \dfrac{6-4i\sqrt{3}}{2} = 3-2i\sqrt{3}\)
\(P(z) =0\) a pour racines \(i\sqrt{3}\) et \(-i\sqrt{3}\) ainsi que \(z_1\) et \(z_2\).
Nous avons déjà deux racines de \(P\), trouvées dans la première question.
Résoudre maintenant \(Q(z) = 0\) pour trouver les deux suivantes.
Vérifier que \(\Delta = -48\)
Question 3
Placer dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal \((O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})\), les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) d'affixes respectives :
\(z_A = i\sqrt{3}\), \(z_B = -i\sqrt{3}\), \(z_C = 3+2i\sqrt{3}\) et \(z_D = \overline{z_C}\)
Montrer que ces quatre points appartiennent à un même cercle.
Comme \(A\) et \(B\) d'un côté, \(C\) et \(D\) de l'autre sont symétriques par rapport à l'axe \((O,\overrightarrow{u})\), les triangles \(ABC\) et \(ABD\) ont les mêmes cercles circonscrits, ils appartiennent donc au même cercle.
Remarquez la symétrie de cette figure. On ne demande pas ici le centre ou rayon du cercle. Il faut juste prouver qu’il existe.
Il n’y a pas de calcul à faire. Un raisonnement suffit.
Songez au cercle circonscrit à \(ABC\) et montrer que \(D\) appartient à ce cercle.
Question 4
On note \(E(z_E)\) le symétrique de \(D\) par rapport à \(O\).
Montrer que \(\dfrac{z_C-z_B}{z_E-z_B}=e^{-i\frac{\pi}{3}}\)
En déduire la nature du triangle \(BEC\).
\(E\), le symétrique de \(D\) par rapport à \(O\) a pour affixe \(-z_D=-3+2i\sqrt{3}\).
On a :
\(\dfrac{z_C-z_B}{z_E-z_B}= \dfrac{3+2i\sqrt{3}+i\sqrt{3}}{-3+2i\sqrt{3}+i\sqrt{3}}\)
\(\dfrac{z_C-z_B}{z_E-z_B} = \dfrac{1+i\sqrt{3}}{-1+i\sqrt{3}}\)
\(\dfrac{z_C-z_B}{z_E-z_B} = \dfrac{(1+i\sqrt{3})(-1-i\sqrt{3})}{1+3}\)
\(\dfrac{z_C-z_B}{z_E-z_B} = \dfrac{1-i\sqrt{3}}{2}\)
\(\dfrac{z_C-z_B}{z_E-z_B}= e^{-i\frac{\pi}{3}}\)
Ainsi : Comme \(e^{-i\frac{\pi}{3}}\) est un nombre complexe de module \(1\) et d'argument \(-\dfrac{\pi}{3}\), alors :
\(\left\vert\dfrac{z_C-z_B}{z_E-z_B}\right\vert=1\Leftrightarrow \dfrac{BC}{BE}=1 \Leftrightarrow BC=EB\)
Le triangle \(BEC\) est isocèle. De plus :
\(arg\left(\dfrac{z_C-z_B}{z_E-z_B}\right)=(\vec{BE};\vec{BC})=-\dfrac{\pi}{3}(2\pi) \)
Le triangle \(BEC\) a un angle de $60°$ : il est donc équilatéral.
Faites une figure pour la symétrie. L’affixe de \(E\) devient immédiat
Les affixes sont opposés bien sûr...
Simplifiez votre quotient en utilisant la quantité conjuguée.
Trouvez à présent son expression exponentielle.