Fiche de cours
Résolution d'équations avec des nombres complexes
Equations du premier degré
Il y a deux formes d'équations du premier degré avec solutions complexes :
$\bullet$ $az+b=0$ avec $a$ et $b$ dans $\mathbb{C}$, dont la résolution se fait comme pour une équation du premier degré avec des réels.
$\bullet$ $az+b\bar z +c=0$ avec $a$, $b$ et $c$ dans $\mathbb{C}$ dont la résolution se fait en remplaçant $z$ par sa forme algébrique : $z=a+ib$.
Exemple
Trouver la ou les solutions de l'équation $(E) : z-\bar z+i=0$.
On pose $z=a+ib$ la forme algébrique de $z$. On remplace cette forme algébrique de $z$ dans l'équation $(E)$ :
$(a+ib)-\overline{(a+ib)}+i=0 \Leftrightarrow a+ib-(a-ib)+i=0 \Leftrightarrow 2ib=-i \Leftrightarrow b=-\dfrac12$
Ainsi, les solutions de $(E)$ sont tous les nombres complexes s'écrivant :
$z=a-\dfrac12 i$, avec $a$ réel.
Equations du second degré
La forme générale d'une équation du second degré est la suivante :
$\boxed{az^2+bz+c=0}$ avec $a$, $b$ et $c$ réels.
La résolution de cette équation est semblable à celle d'une équation du second degré avec