D'après la formule de De Moivre :
On sait que $\cos(nx) = \mathcal{Re}(e^{inx})=\mathcal{Re}\big(({e^{ix}})^n\big)=\mathcal{Re}\big({[\cos(x)+i\sin(x)]}^n\big)$

D'après la formule d'Euler

Cette technique consiste à factoriser une expression par un nombre complexe d'argument moitié par rapport à l'original. 

Soit $x \in \mathbb{R}$,
On souhaite calculer $\cos(x) + 2\cos(2x) + \cos(3x)$:
$\cos(x) + 2\cos(2x) + \cos(3x) = \mathcal{Re}\left(e^{ix}+2e^{2ix}+e^{3ix}\right)$.
On pose pour tout $x \in \mathbb{R}$, $X = e^{ix}$
Ainsi, $e^{ix}+2e^{2ix}+e^{3ix} = X + 2X^2+X^3 = X(1 + 2X + X^2)=X(1+X)^2$.
Donc, $e^{ix}+2e^{2ix}+e^{3ix} = e^{ix}(1+e^{ix})^2$
On factorise dans l'expression entre parenthèses par l'argument moitié :
$e^{ix}+2e^{2ix}+e^{3ix} = e^{ix}\big(e^{i\frac{x}{2}}\big[e^{-i\frac{x}{2}}+e^{i\frac{x}{2}}\big]\big)^2$
On poursuit alors le calcul : 
$e^{ix}+2e^{2ix}+e^{3ix} = e^{2ix}\big[e^{-i\frac{x}{2}}+e^{i\frac{x}{2}}\big]^2$
Or, pour tout $x \in \mathbb{R}$ on a $ e^{-i\frac{x}{2}}+e^{i\frac{x}{2}} = 2 \cos\left (\dfrac{x}{2} \right ) $. 
Ainsi, $e^{ix}+2e^{2ix}+e^{3ix} = 4 e^{2ix}\cos^2\left (\dfrac{x}{2} \right ) $.
Finalement, $\cos(x) + 2\cos(2x) + \cos(3x) = \mathcal{Re}(4 e^{2ix}\cos^2(x)) = 4\cos(2x)\cos^2\left (\dfrac{x}{2} \right ) $

On remarque que les coefficients devant chaque terme nous rappelle la formule du binôme de Newton du développement de $(x-1)^4$, pour $x \in \mathbb{R}$.
On utilise alors le fait que $\cos(x) = \mathcal{Re}\left(e^{ix}\right)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. 
Soit $x \in \mathbb{R}$,
$\cos(4x) - 4\cos(3x) + 6\cos(2x) - 4\cos(x) + 1 = \mathcal{Re}\left(e^{4ix}-4e^{3ix}+6e^{2ix}-4e^{ix}+1\right)$.
On pose alors $X = e^{ix}$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
Ainsi, $e^{4ix}-4e^{3ix}+6e^{2ix}-4e^{ix}+1 = X^4 - 4X^3+6X^2-4X + 1 = (X-1)^4$. 
On utilise ensuite la technique de l'argument moitié.
$(X-1)^4 = ( e^{ix} - 1)^4 = \big ( e^{i\frac{x}{2}}\left [e^{i\frac{x}{2}}-e^{-i\frac{x}{2}}\right ] \big)^4=e^{2ix}\left [e^{i\frac{x}{2}}-e^{-i\frac{x}{2}}\right ]^4$
Or, on sait d'après la formule d'Euler que : $\sin(x) = \dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$.
Ainsi, $( e^{ix} - 1)^4 = e^{2ix}\left((2i)\sin\left(\frac{x}{2} \right)\right)^4$.
Enfin, $\cos(4x) - 4\cos(3x) + 6\cos(2x) - 4\cos(x) + 1 = \mathcal{Re}\left(e^{2ix}\left((2i)\sin\left(\frac{x}{2} \right)\right)^4\right) = 16 \cos(2x)\sin^4 \left ( \dfrac{x}{2} \right)$

Tout d'abord, on sait que $\sin(x) = \mathcal{Im}\left ( e^{ix} \right )$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. 
Soit $x \in \mathbb{R}$,
On peut alors écrire que $\sin(6x) -2\sin(4x)+\sin(2x) = \mathcal{Im}\left ( e^{6ix} -2e^{4ix} + e^{2ix} \right )$.
On pose alors $X = e^{ix}$. 
Ainsi $e^{6ix} -2e^{4ix} + e^{2ix} = X^6-2X^4+X^2 = X^2(X^4-2X^2+1)=X^2(X^2-1)^2=X^2(X-1)^2(X+1)^2$.
On utilise à nouveau la technique de l'argument moitié.
Ainsi $X^2(X-1)^2(X+1)^2 = e^{2ix}(e^{ix}-1)^2(e^{ix}+1)^2=e^{2ix}\left((-4)e^{ix}\sin^2\left(\frac{x}{2} \right)\times4e^{ix}\cos^2\left(\frac{x}{2} \right)\right ) = -16 e^{4ix}\cos^2\left(\frac{x}{2} \right)\sin^2\left(\frac{x}{2} \right)$.
Enfin, $\sin(6x) -2\sin(4x)+\sin(2x) = \mathcal{Im}\left ( -16 e^{4ix}\cos^2\left(\frac{x}{2} \right)\sin^2\left(\frac{x}{2} \right) \right) = -16 \sin(4x)\cos^2\left(\frac{x}{2} \right)\sin^2\left(\frac{x}{2} \right)$

Tout d'abord, on sait que $\sin(x) = \mathcal{Im}\left ( e^{ix} \right )$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. 
Soit $x \in \mathbb{R}$,
On peut alors écrire que $\sin(6x) -2\sin(4x)+\sin(2x) = \mathcal{Im}\left ( e^{6ix} -2e^{4ix} + e^{2ix} \right )$.
On pose alors $X = e^{ix}$. 
Ainsi $e^{6ix} -2e^{4ix} + e^{2ix} = X^6-2X^4+X^2 = X^2(X^4-2X^2+1)=X^2(X^2-1)^2$.
On utilise à nouveau la technique de l'argument moitié.
Ainsi $X^2(X^2-1)^2 = e^{2ix}(e^{2ix}-1)^2=e^{4ix}(-4\sin^2(x))$.
Finalement, $\sin(6x) -2\sin(4x)+\sin(2x) = \mathcal{Im}\left (e^{4ix}(-4\sin^2(x)) \right) = -4\sin(4x)\sin^2(x)$.

Pour retrouver la première expression on utilise la propriété suivante :
Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\sin(2x) = 2 \cos(x) \sin(x)$ ou encore $ \sin^2(2x) = 4 \cos^2(x) \sin^2(x)$.
Finalement en remplaçant $x$ par $\dfrac{x}{2}$ on trouve : $ \sin^2(x) = 4 \cos^2\left(\frac{x}{2} \right)\sin^2\left(\frac{x}{2} \right)$ et on parvient à retrouver le premier résultat.