L'énoncé
Cocher la bonne réponse.
Tu as obtenu le score de
Question 1
Soit $\theta \in \mathbb{R}$,
$e^{i\theta} =$
$\cos(\theta)$
$\cos(i\theta) + \sin(i\theta)$
$\cos(\theta) + i\sin(\theta)$
Question 2
Soit $\theta \in \mathbb{R}$,
$\cos(\theta) = $
$\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2}$
$\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$
En effet,
Soit $\theta \in \mathbb{R}$,
$e^{i\theta} = \cos(\theta)+i\sin(\theta)$
$e^{-i\theta} = \cos(\theta)-i\sin(\theta)$
Donc $2\cos(\theta)=e^{i\theta}+e^{-i\theta}$
$e^{i\theta}+e^{-i\theta}$
Question 3
Soit $\theta \in \mathbb{R}$,
$\sin(\theta) = $
$\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$
$\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2i}$
$\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$
En effet,
Soit $\theta \in \mathbb{R}$,
$e^{i\theta} = \cos(\theta)+i\sin(\theta)$
$e^{-i\theta} = \cos(\theta)-i\sin(\theta)$
Donc $2i\sin(\theta)=e^{i\theta}-e^{-i\theta}$
Question 4
Comment appelle-t-on la correspondance écriture trigonométrique et écriture exponentielle ?
Les formules d'Euler
Les formules de l'heure
Les formules de Leur.
Question 5
Comment calcule t on dans la vidéo la somme :
$S_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \cos(k \theta)$ ?
Par récurrence
En utilisant une autre suite
On pose $T_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \sin(k \theta)$.
Cela permet alors d'écrire :
$S_n + i T_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \cos(k \theta) + i \sin(k \theta) = \displaystyle \sum_{k=0}^n e^{ik\theta}$
En utilisant le fait que $\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$ pour tout $(a, b) \in \mathbb{R}^2$
Question 6
Que faut-il vérifier lorsque l'on calcule la suite $S_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \cos(k \theta)$ ?
Il faut vérifier que $\theta \neq 0$
Il faut vérifier que $\theta \neq 0 + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$
Dans ce cas, cela revient à sommer des $1$ donc la somme vaut $n + 1$
Il faut vérifier que $\theta \in \mathbb{Z}$.
Question 7
Quelle technique est utilisée pour pour trouver la partie réelle de $\displaystyle \sum_{k=0}^n {\left (e^{i\theta} \right )}^k$ ?
On factorise par l'argument moitié
Il s'agit d'une technique couramment utilisée.
On reconnait une identité remarquable
On impose à $\theta$ des valeurs particulières
Question 8
A quoi est égale $\mathcal{Re}\left (e^{i n\frac{\theta}{2}} \right )$
$\cos \left ( i n\frac{\theta}{2} \right )$
$\cos \left ( n \theta \right )$
$\cos \left ( n \frac{\theta}{2} \right )$
En effet,
$e^{i n\frac{\theta}{2}} = \cos \left ( n \frac{\theta}{2} \right ) + i \sin \left ( n \frac{\theta}{2} \right )$ par définition,
donc $\mathcal{Re}\left (e^{i n\frac{\theta}{2}} \right ) = \cos \left ( n \frac{\theta}{2} \right )$
Question 9
Donner $\lim\limits_{\theta \rightarrow 0} \dfrac{ \cos \left ( n \frac{\theta}{2} \right ) \sin \left ( ( n + 1) \frac{\theta}{2} \right )}{\sin \left ( \frac{\theta}{2} \right )}$
$0$
$n + 1$
On sait que $S_n = \dfrac{ \cos \left ( n \frac{\theta}{2} \right ) \sin \left ( ( n + 1) \frac{\theta}{2} \right )}{\sin \left ( \frac{\theta}{2} \right )}$.
Or si on considère $S_n$ comme une fonction de $\theta$ alors $S_n$ est continue.
Si on fait tendre $\theta$ vers 0 dans l'expression originale, on a montré que cela revenait à calculer une somme de 1, d'où le résultat.
On ne peut pas savoir
Question 10
Comment calcule-t-on $\displaystyle \sum_{k=0}^n {\left (e^{i\theta} \right )}^k$ ?
En reconnaissant une série particulière
Il s'agit d'une série géométrique de raison $e^{i\theta}$
En utilisant le fait que $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta)$
Par récurrence
C'est une définition