Fiche de cours
Formules d'Euler
Propriétés :
Soit $\theta \in \mathbb{R}$,
- $\cos(\theta) = \dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$
- $\sin(\theta) = \dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$
Démonstration :
On admet la propriété suivante :
Soit $\theta \in \mathbb{R}$, $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta)$.
On peut alors écrire que
$e^{-i\theta} = \overline{e^{i\theta}} = \cos(\theta) - i \sin(\theta)$.
Ainsi, en additionnant les deux égalités on obtient :
$e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2 \cos(\theta)$.
De même, en soustrayant la deuxième à la première on aboutit à :
$e^{i\theta} - e^{-i\theta} = 2i \sin(\theta)$.
On remarquera la présence du $i$ dans la formule du sinus au dénominateur.
Application
On se propose de résoudre un exercice d'application, difficile, faisant appel à une technique que l'on pourra réinvestir dans de futurs exercices.
Soit $n \in \mathbb{N}$,
Calculons $\mathcal{S}_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \cos(k\theta) = 1 + \cos(\theta) + \cos(2\theta) + ... + \cos(n\theta)$.
L'idée, qui devrait être donnée, consiste à utiliser une nouvelle somme $\mathcal{T}_