Fiche de cours
Formes trigonométriques et exponentielles
Définition
On considère un nombre complexe $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ réels.
On note $|z|$ le module de $z$ et $\theta$ un argument de $z$.
On a alors : $\boxed{z=|z|(\cos(\theta)+i\sin(\theta))}$
On appelle alors la quantité $|z|(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$ la forme trigonométrique de $z$.
En posant $e^{i\theta} = \cos(\theta)+i\sin(\theta)$, on obtient la forme exponentielle de $z$ :
$ \boxed{z=|z|e^{i\theta}}$
Exemple
Donner les formes trigonométriques et exponentielles des nombres complexes suivants :
$a=1+i$ ; $b=i$ et $c=2+2i\sqrt3$
Une méthode consiste à calculer le module du nombre complexe et par la suite de diviser ce nombre par son module pour trouver son argument.
En effet,
si $z=|z|(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$
alors $\dfrac{z}{|z|}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$.
Ainsi,
$|a|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$ puis
$\dfrac{a}{|a|}=\dfrac{\sqrt2}{2}+i\dfrac{\sqrt2}{2} = \cos(\dfrac{\pi}{4})+i\sin(\dfrac{\pi}{4})$.
Finalement :
$a= \sqrt2 \left[\cos(\dfrac{\pi}{4})+i\sin(\dfrac{\pi}{4})\right]= \sqrt2 e^{i\frac{\pi}{4}}$.