Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct $(O;\vec{u};\vec{v})$.

On pose $z_0 = 8$ et, pour tout entier naturel $n$ : $z_{n+1} = \dfrac{3-i\sqrt3}{4} z_n$.

On note $A_n$ le point du plan d’affixe $z_n$.   

1. a. Vérifier que : $\dfrac{3-i\sqrt3}{4}=\dfrac{\sqrt3}{2} e ^{\frac{-i\pi}{6}}$ .

    b. En déduire l’écriture de chacun des nombres complexes $z_1, z_2$ et $z_3$ sous forme exponentielle et vérifier que $z_3$ est un imaginaire pur dont on précisera la partie imaginaire.

    c. Représenter graphiquement les points $A_0 , A_1 , A_2$ et $A_3$ ; on prendra pour unité le centimètre.

2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n, z_n = 8\times \left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^ne^{\frac{-in\pi}{6}}$ .

    b. Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = |z_n|$. Déterminer la nature et la limite de la suite $(u_n)$.

3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel $k, \dfrac{z_{k+1} − z_k}{ z_{k+1}} =\dfrac{-1}{\sqrt3} i$.

En déduire que, pour tout entier naturel $k$, on a l’égalité : $A_k A_{k+1} =\dfrac{1}{\sqrt3} OA_{k+1}$.

    b. Pour tout entier naturel $n$, on appelle $ℓ_n$ la longueur de la ligne brisée reliant dans cet ordre les points $A_0, A_1, A_2, ..., A_n$.

On a ainsi : $ℓ_n = A_0A_1 + A_1A_2 +...+ A_{n−1}A_n$. Démontrer que la suite $(ℓ_n)$ est convergente et calculer sa limite.