Fiche de cours
Propriétés des formes trigonométriques et exponentielles
Opérations sur l'exponentielle complexe
Module
Par définition, on a $e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$ donc
$|e^{i\theta}|=\sqrt{\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)}=1$.
A retenir donc :Tout nombre complexe de la forme $e^{i\theta}$ se situe sur le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, c'est-à-dire que son module vaut $1$.
Conjugué
Si $z=e^{i\theta}$ alors on a $\boxed{\bar z = e^{-i\theta}}$.
Périodicité et inverse
Les fonctions cosinus et sinus étant périodiques de période $2\pi$ on a, pour tout $k\in \mathbb{N}$ :
$\boxed{ e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}}$
On a, en outre, l'égalité suivante :
$\boxed{\dfrac{1}{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}}$.
Produit et quotient
Si $\theta$ et un réel et $n$ un entier naturel, on a :
$\boxed{{(e^{i\theta})}^n=e^{in\theta}}$.
De manière plus générale, si $\theta$ et $\theta'$ sont des réels quelconques :
$\boxed{e^{i(\theta+\theta')}=e^{i\theta}\times e^{i\theta'}}$.
Enfin, le quotient de deux exponentielles complexes donne le résultat suivant :
$\boxed{\dfrac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=