On note $\mathbb{C}$ l'ensemble des nombres complexes. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{u},\vec{v})$. On prendra comme unité $2$ cm sur chaque axe.

Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et complété au fur et à mesure des questions. On considère la fonction $f$ qui à tout nombre complexe $z$ associe :

$f(z) = z^2 + 2z +9$.

1) Calculer l'image de $-1+ i \sqrt3$ par la fonction $f$.

2) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $f(z) = 5$.

Écrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation. Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas; les points $A$ et $B$ dont l'affixe est solution de l'équation ($A$ étant le point dont l'affixe a une partie imaginaire positive).

On laissera les traits de construction apparents.

3) Soit $1$ un nombre réel. On considère l'équation $f(z) = 1$ d'inconnue $z$.

Déterminer l'ensemble des valeurs de $1$ pour lesquelles l'équation $f(z) =1$ admet deux solutions complexes conjuguées.

4) Soit $(F)$ l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ vérifie : $\mid f(z) - 8\mid = 3$.

Prouver que $(F)$ est le cercle du centre $\Omega(-1;0)$ et de rayon $\sqrt3$. Tracer $(F)$ sur le graphique.

5) Soit $z$ un nombre complexe, tel que $z = x + iy$ où $x$ et $y$ sont des nombres réels.

a) Montrer que la forme algébrique de $f(z)$ est : $x^2-y^2 + 2x + 9 + i (2xy +2y)$.

b) On note $(E)$ l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ est telle que $f(z)$ soit un nombre réel.

Montrer que $(E)$ est la réunion de deux droites $D_1$ et $D_2$ dont on précisera les équations.

Compléter le graphique de l'annexe en traçant ces droites.

6) Déterminer les coordonnées des points d'intersection des ensembles $(E)$ et $(F)$.