Fiche de cours
Propriétés des modules et arguments
Module
Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes (avec $z'$ non nul).
On a les propriétés suivantes :
$\bullet $ $|z\times z'|=|z|\times |z'| $
$\bullet $ $ |z^n|=|z|^n$ pour $n\in \mathbb{N}$
$\bullet$ $\left| \dfrac{z}{z'}\right| = \dfrac{|z|}{|z'|}$ si $z'\neq 0$
$\bullet$ $|z+z'| \leqslant |z|+|z'|$
Argument
Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes (avec $z'$ non nul).
On a les propriétés suivantes :
$\bullet $ $ arg(z\times z')=arg(z)+arg(z') ~ [2\pi]$
$\bullet $ $ arg(z^n)=n\times arg(z) ~ [2\pi]$ pour $n\in \mathbb{N}$
$\bullet$ $ arg\bigg(\dfrac{z}{z'}\bigg) = arg(z)-arg(z') ~ [2\pi]$
Exemple
Soient $a=1+i$ et $b=2i$ deux nombres complexes.
Calculer le module de $a^4$ ainsi qu'un argument de $\dfrac{a}{b}$.
D'après les propriétés du module on a : $|a^4|=|a|^4$ donc on calcule $|a|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$.
Finalement : $|a^4|=|a|^4=\sqrt2^4= 4$.
D'après les propriétés des arguments, on a : $arg\left(\dfrac{a}{b} \right)= arg(a)-arg(b)~ [2\pi]$.
Ici, on a : $a={\sqrt2}\left(\dfrac{\sqrt2}{2}+i\dfrac{\sqrt2}{2}\right)