L'énoncé
Question 1
Le nombre complexe \((1+i)^{10}\) est imaginaire pur.
Vrai : si on passe en forme exponentielle c'est immédiat :
On montre aisément que \(1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\). Ainsi :
\( (1+i)^{10} = \left( \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\right)^{10} = 2^5e^{i\frac{5\pi}{2}} = 32i\)
Cherchez dans votre cours des formules avec les puissances sur cette notation.
Question 2
Le nombre complexe \(\dfrac{1-i\sqrt{3}}{(1+i)^2}\) est de module 1 et l'un de ses arguments est \(\dfrac{7\pi}{3}\).
Faux.
\(\dfrac{1-i\sqrt{3}}{(1+i)^2} = \dfrac{2e^{-i\frac{\pi}{3}}}{(\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}})^2}= \dfrac{2e^{-i\frac{\pi}{3}}}{2i}\)
\( \dfrac{1-i\sqrt{3}}{(1+i)^2} = e^{-i\frac{\pi}{3}}e^{-i\frac{\pi}{2}}\)
\( \dfrac{1-i\sqrt{3}}{(1+i)^2} = e^{-i\frac{5\pi}{6}} \)
Ce nombre complexe est bien de module 1 mais d'argument \(-\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{6}(2\pi)\).
Simplifiez l’écriture obtenue sous forme exponentielle.
Rappelez-vous que \(i\) a pour argument \(\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\), \(k\) réel.
Question 3
\(A\) est le point d'affixe \(-1+2i\) dans un repère orthonormal. L'ensemble des points \(M\) d'affixe \(z\) vérifiant \((z+1-2i)(\overline{z}+1+2i) =4\) est le cercle de centre \(A\) et de rayon 4.
Faux : on développe : \((z+1-2i)(\overline{z}+1+2i) = z\overline{z}+(1-2i)\overline{z}+(1+2i)z+1-4i^2\)
D'où en remplaçant \(z\) par \(x + iy\)
\(x^2+y^2+(1-2i)(x-iy)+(1+2i)(x+iy)+5=4\)
\( \Leftrightarrow x^2+y^2+2x-4y+1=0 \)
\(\Leftrightarrow (x+1)^2+(y-2)^2 = 4\)
Donc le centre est bien le point A mais le rayon est 2.
On aurait pu remarquer directement que \(\overline{z} +1 + 2i = \overline{z+1-2i}\)
Doù \(|z-(-1+2i)|^2 = 4\)
\(\vert z-z_A\vert = 2\) mais la conclusion est identique.
Vous retrouverez (ou non) l’équation cartésienne du cercle proposé.