L'énoncé
On considère deux nombres complexes non nuls, $z$ et $z'$. Soit $\theta$ un argument de $z$ et $\theta'$ un argument de $z'$.
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Question 1
La notation trigonométrique de $z$ est :
$z=|z| (\cos(\theta)+\sin(\theta))$
$z=|z| (\cos(\theta)+i\sin(\theta))$
$z=z (\cos(\theta)+i\sin(\theta))$
$z=|z| (\sin(\theta)+i\cos(\theta))$
Question 2
La notation exponentielle de $z$ est :
$z=e^{\theta}$
$z=e^{i\theta}$
$z=|z|e^{\theta}$
$z=|z|e^{i\theta}$
C'est une définition
Question 3
$e^{i\theta}\times e^{i\theta'}=$
$e^{i\theta\times \theta'}$
$e^{i(\theta+ \theta')}$
C'est la même propriété que la fonction exponentielle
$e^{i\theta}+e^{I\theta'}$
Question 4
$\dfrac{e^{i\theta}}{ e^{i\theta'}}=$
$e^{i\theta\times \theta'}$
$e^{i(\theta+ \theta')}$
$e^{i(\theta- \theta')}$
C'est une propriété du cours
$e^{i\frac{\theta}{\theta'}}$
Question 5
Soit $n$ un entier. $(e^{i\theta})^n=$ ?
$e^{ni\theta}$
Cette propriété est fondamentale.
$ne^{i\theta}$
$e^{i\theta^n}$
Question 6
Soit $z_1=2e^{i\frac{\pi}{3}}$. Que vaut ${z_1}^2$ ?
${z_1}^2=2e^{i\frac{2\pi}{3}}$
${z_1}^2=4e^{i\frac{2\pi}{3}}$
En effet, $2^2=4$ et
$(e^{i\frac{\pi}{3}})^2=e^{i\frac{2\pi}{3}}$
${z_1}^2=4e^{i\frac{2\pi}{6}}$
Question 7
Soit $z_1=2e^{i\frac{\pi}{3}}$. Que vaut ${z_1}^3$ ?
${z_1}^3=-8$
En effet, $2^3=8$ et
$(e^{i\frac{\pi}{3}})^3=e^{i\pi}=-1$
${z_1}^3=8$
${z_1}^3=8e^{i\frac{3\pi}{9}}$
Question 8
Soit $z_1=2e^{i\frac{\pi}{3}}$ et Soit $z_2=5e^{i\frac{\pi}{4}}$.
Calculer : $z_1z_2$
$z_1z_2=10e^{i\frac{7\pi}{12}}$
En effet = $5\times 2 =10$
$e^{i\frac{\pi}{3}}\times e^{i\frac{\pi}{4}}=e^{i\frac{3\pi+4\pi}{4\times 3}}=e^{i\frac{7\pi}{12}}$
$z_1z_2=10e^{i\frac{2\pi}{7}}$
$z_1z_2=-10e^{i\frac{-7\pi}{12}}$
Question 9
Soit $z_1=10e^{i\frac{5\pi}{3}}$ et Soit $z_2=5e^{i\frac{\pi}{3}}$.
Calculer : $\dfrac{z_1}{z_2}$
$\dfrac{z_1}{z_2}=20e^{i\frac{4\pi}{3}}$
$\dfrac{z_1}{z_2}=2e^{i\frac{6\pi}{3}}$
$\dfrac{z_1}{z_2}=2e^{i\frac{4\pi}{3}}$
En effet : $\dfrac{10}{5}=2$
$\dfrac{e^{i\frac{5\pi}{3}}}{e^{i\frac{\pi}{3}}}=e^{i\frac{4\pi}{3}}$
Question 10
Soit $z_1=2e^{i\frac{\pi}{3}}$ et Soit $z_2=2e^{i\frac{\pi}{4}}$.
Calculer ${z_1}^3{z_2}^4$
${z_1}^3{z_2}^4=64$
${z_1}^3{z_2}^4=128e^{i\frac{\pi}{12}}$
${z_1}^3{z_2}^4=128$
En effet : ${z_1}^3=(2e^{i\frac{\pi}{3}})^3=-8$
${z_2}^4=(2e^{i\frac{\pi}{4}})^4=-16$
Le produit vaut donc bien $128$
C'est une définition.