On dispose de deux urnes U et V contenant chacune deux boules. Au départ, l’urne U contient deux boules blanches et l’urne V contient deux boules noires. On effectue des tirages successifs dans ces urnes de la façon suivante : chaque tirage consiste à prendre au hasard, de manière simultanée, une boule dans chaque urne et à la mettre dans l’autre urne.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $X_n$ la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches que contient l’urne U à la fin du $n$-ième tirage.

1. a. Traduire par une phrase la probabilité $P_{(X_n=1)} (X_{n+1} =1)$ puis déterminer les probabilités conditionnelles suivantes :

    $P_{(X_n=0)} (X_{n+1} =1)$ ; $P_{(X_n=1)} (X_{n+1} =1)$ et $P_{(X_n=2)} (X_{n+1} =1)$.

    b. Exprimer $P(X_{n+1} =1)$ en fonction de $P(X_n =0)$, $P (X_n =1)$ et $P(X_n = 2)$.

2. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $R_n$ la matrice ligne définie par :

$R_n =\begin{pmatrix}P (X_n = 0)&P (X_n =1)&P (X_n = 2)\end{pmatrix}$ et on considère la matrice $M$ $\begin{pmatrix}0&1&0\\\frac{1}{4}&\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\ 0&1& 0\end{pmatrix}$

On note $R_0$ la matrice ligne $\begin{pmatrix} 0 &0 & 1\end{pmatrix}$ . On admettra par la suite que, pour tout entier naturel $n, R_{n+1} = R_n \times M$.

Déterminer $R_1$ et justifier que, pour tout entier naturel $n, R_n = R_0 \times M^n$ .

3. On admet que $M = P \times D \times P^{−1}$ avec : $P = \dfrac{1}{6}\begin{pmatrix}2&3&1\\-1&0&1\\ 2&-3& 1\end{pmatrix}$ , $D =\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}&0&0\\0&0&0\\ 0&0& 1\end{pmatrix}$ et $P^{−1} =\begin{pmatrix}1&-2&1\\1&0&-1\\ 1&4& 1\end{pmatrix}$ 

Établir que, pour tout entier naturel $n, M^n = P \times D^n \times P ^{−1}$ . On admettra que, pour tout entier naturel $n, D^n =\begin{pmatrix}(-\frac{1}{2})^n&0&0\\0&0&0\\ 0&0& 1\end{pmatrix}$

4. a. Calculer $D^n \times P^{−1}$ en fonction de $n$.

    b. Sachant que $R_0\times P =\begin{pmatrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{pmatrix}$, déterminer les coefficients de $R_n$ en fonction de $n$.

5. Déterminer $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} P (X_n = 0)$, $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} P (X_n =1)$ et $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}P (X_n = 2)$.

Interpréter ces résultats.