Fiche de cours
Produit de matrices
Définition
Soit $A$ une matrice $(n\times p)$.
Soit $B$ une matrice $(p\times m)$.
Pour pouvoir multiplier deux matrices, il faut que le nombre de colonnes de la première soit égal au nombre de lignes de la seconde.
Exemple
Soit $A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & -1 & 2\\
\end{pmatrix} $ une matrice $(2\times 3)$ et
$B=\begin{pmatrix}1 & 4 \\
2 & 0\\
-1 & 3\\\end{pmatrix} $ une matrice $(3\times 2)$
On peut calculer le produit $A\times B$ des matrices de la façon suivante :
$A\times B=\begin{pmatrix}
1 \times 1+2 \times 2 - 1 \times 3 & 1 \times 4 +2 \times 0 +3 \times 3\\
1 \times 0+ 2\times (-1) +2 \times (-1) & 4 \times 0 +(-1) \times 0 +3 \times 2\\
\end{pmatrix} $
$A\times B=\begin{pmatrix}2& 13\\
-4 & 6\\
\end{pmatrix} $
Remarque :
On peut ici effectuer le produit $B\times A$ car les dimensions des matrices s'y prêtent.
Ce n'est pas le cas général, il faut toujours vérifier les dimensions des matrices à multiplier.
On dira que le produit des matrices n'est pas commutatif.