Fiche de cours
Puissance d'une matrice carrée
Définition : matrice diagonale $D_n$
Une matrice est diagonale lorsque les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls.
Voici un exemple de matrice diagonale d'ordre 3.
$D_3=\begin{pmatrix}
3 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 2\\
\end{pmatrix} $
Puissance d'une matrice diagonale $D_n$
Si on souhaite obtenir par exemple le carré de la matrice $D_3$, on élève au carré chaque coefficient de la diagonale. Ainsi :
$D_3^{2}=\begin{pmatrix}
3^2 & 0 & 0 \\
0 & (-1)^2 & 0\\
0 & 0 & 2^2\\
\end{pmatrix} $ $\iff$ $D_3^{2}=\begin{pmatrix}
9 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 4\\
\end{pmatrix} $
Puissance d'une matrice carrée
De façon générale, pour toute matrice carrée $A$ et pour tout entier $n\geqslant {2}$
$A^2= A \times A$;
$A^3= A^2 \times A =A \times A^2$
$A^n= A^{n-1}\times A=A\times A^{n-1}$
Exemple
Par multiplications successives, on obtient aisément les puissances d'une matrice carrée d'ordre 2.
$A =\begin{pmatrix}
2 & -1 \\