Pour tout couple d’entiers relatifs non nuls $(a,b)$, on note $pgcd(a,b)$ le plus grand diviseur commun de $a$ et $b$. Le plan est muni d'un repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$.
1) Exemple. Soit $\Delta _1$ la droite d'équation $y = \dfrac{5}{4} x - \dfrac{2}{3}$.
A) Montrer que si $(x, y)$ est un couple d'entiers relatifs alors l'entier $15x - 12y$ est divisible par $3$.
B) Existe-il au moins un point de la droite $\Delta _1$ dont les coordonnées sont deux entiers relatifs ? Justifier.
Généralisation
On considère désormais une droite $\Delta$ d’équation $(E) : y = \dfrac{m}{n} x - \dfrac{p}{q}$ où $m, n, p$ et $q$ sont des entiers relatifs non nuls tels que $pgcd(m,n) = pgcd(p,q) = 1$.
Ainsi, les coefficients de l’équation $(E)$ sont des fractions irréductibles et on dit que $\Delta$ est une droite rationnelle.
Le but de l'exercice est de déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $m, n, p$ et $q$ pour qu’une droite rationnelle $\Delta$ comporte au moins un point dont les coordonnées sont deux entiers relatifs.
2) On suppose ici que la droite $\Delta$ comporte un point de coordonnées $(x_0 , y_0)$ où $x_0$ et $y_0$ sont des entiers relatifs.
A) En remarquant que le nombre $n \ y_0 - m \ x_0$ est un entier relatif, démontrer que $q$ divise le produit $np$.
B) En déduire que $q$ divise $n$.
3) Réciproquement, on suppose que $q$ divise $n$, et on souhaite trouver un couple $(x_0 , y_0)$ d’entiers relatifs tels que
$y_0 = \dfrac{m}{n} x_0 - \dfrac{p}{q}$
A) On pose $n = qr$, où $r$ est un entier relatif non nul. Démontrer qu’on peut trouver deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $qru - mv =1$.
B) En déduire qu’il existe un couple $(x_0 , y_0)$ d’entiers relatifs tels que
$y_0 = \dfrac{m}{n} x_0 - \dfrac{p}{q}$.
4) Soit $\Delta$ la droite d’équation $y=\dfrac{3}{8} x - \dfrac{7}{4}$.
Cette droite possède-t-elle un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs ? Justifier.
5) On donne l'algorithme suivant :
| Variables : |
$M, N, P, Q$ : entiers relatifs non nuls, tels que $pgcd(M, N) = pgcd(P, Q) = 1$ |
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| Entrées : |
Saisir les valeurs de $M, N,P,Q$ |
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| Traitement et sorties : | | |
Si $Q$ divise $N$ alors |
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$\quad \quad$ $X$ prend la valeur $0$ |
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$\quad \quad$ Tant que $\left( \dfrac{M}{N} X + \dfrac{P}{Q} \text{ n'est pas entier} \right) \text{ et } \left(-\dfrac{M}{N} X + \dfrac{P}{Q} \text{ n'est pas entier} \right)$ faire |
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$\quad \quad \quad \quad$ $X$ prend la valeur $X+1$ |
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$\quad \quad$ Fin tant que |
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$\quad \quad$ Si $\dfrac{M}{N} X + \dfrac{P}{Q}$ est entier alors |
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$\quad \quad \quad \quad$ Afficher $X, \dfrac{M}{N} X + \dfrac{P}{Q}$ |
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$\quad \quad$ Sinon |
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$\quad \quad \quad \quad$ Afficher $-X, - \dfrac{M}{N} X + \dfrac{P}{Q}$ |
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$\quad \quad$ Fin si |
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Sinon |
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$\quad \quad$ Afficher "Pas de solution" |
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Fin Si |
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A) Justifier que cet algorithme se termine pour toute entrée de $M, N, P, Q$ entiers relatifs non nuls tels que $pgcd (M, N) = pgcd (P, Q) = 1$.
B) Que permet-il d'obtenir ?