L'énoncé
On travaille avec le théorème de Bezout sur l'expression \((a^2+ab-b^2)^2\) avec \(a\) et \(b\) entiers naturels.
Question 1
Démontrer à l'aide du théorème de Bezout que si \((a^2+ab-b^2)^2 = 1\) alors \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux.
On a : \((a^2+ab-b^2)^2=a(a^3+2a^2b-ab^2-2b^3)+b \times b^3=1\)
Les nombres \(u=a^3+2a^2b-ab^2\) et \(v=b^3\) sont des entiers donc d'après le théorème de Bezout, \(au+bv=1\) implique que \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux.
Pour utiliser le théorème de Bezout, il faut développer l’expression \((a^2+ab-b^2)^2\) puis la factoriser pour obtenir \((E)\) sous la forme : \(au+bv=1\).
Question 2
On se propose de trouver les couples \((a,b)\) solution de l'équation \((E)\) : \((a^2+ab-b^2)^2 = 1\).
Déterminer \(a\) lorsque \(a = b\).
Si \(a = b\), alors \((a^2+ab-b^2)^2=a^4\)
Donc \((E) \Leftrightarrow a^4 = 1\)
Les solutions sont donc \(a=b=1\).
Que vaut \((E)\) lorsque \(a = b\) ? La solution est alors évidente.
Question 3
Vérifier que \((1;1)\), \((2;3)\) et \((5;8)\) sont trois solutions particulières de \((E)\).
On vérifie que :
\((1^2+1\times{1}-1^2)^2=1\)
\((4+6-9)^2=1\)
\((25+40-64)^2=1\)
Les couples \((1;1)\), \((2;3)\) et \((5;8)\) sont donc trois solutions particulières de \((E)\).
Il suffit de remplacer \(a\) et \(b\) par les valeurs proposées pour ces 3 couples. Quel sont alors les résultats?
Question 4
Montrer que si \((a;b)\) est solution de \((E)\) et si \(a \neq b\) alors \(a^2-b^2 <0 \).
Deux cas sont possibles :
Soit \(0 < a < b\), \(a^2-b^2 < 0\),
soit \( 0 < b < a\), \( a^2 - b^2 > 0\).
Raisonnons par l'absurde dans le second cas.
\(a\) et \(b\) étant des entiers naturels, \(a^2-b^2 > 0 \Rightarrow a^2-b^2 \geq 1\)
Or \(a \neq b\) donc \(ab \geq 2\).
Ainsi : \((a^2+ab-b^2)^2 \geq 2\) et le couple \((a;b)\) n'est pas solution.
Donc si \((a;b)\) est solution et \(a \neq b\) alors \(a^2-b^2 < 0\).
\(a < b\) ou \(b < a\). Avez-vous pensé à raisonner par l’absurde ?
\(b < a \Leftrightarrow a^2-b^2 > 0\). L'expression \((a^2+ab-b^2)^2\) est donc supérieur à... Vous pouvez donc conclure.
Question 5
Montrer que si \((x;y)\) est une solution particulière différente de \((1;1)\) alors \((y-x;x)\) et \((y;x+y)\) sont deux autres solutions.
Si \((x;y)\) est solution, alors \((x^2+xy-y^2)^2 = 1\) et
\((y^2+y(y+x)-(y+x))^2=(y^2-xy-x^2)^2\)
Donc \((y;x+y)\) est solution.
De plus, \(((y-x)^2+x(y-x)-x^2)^2 = (y^2-xy-x^2)^2\)
Et d'après la question précédente, \( x < y \)
Donc \(y-x > 0\) et \((y-x;x)\) est aussi solution.
Avez-vous remplacé \((a, b)\) par \((y;x+y)\) puis \((y-x;x)\) ? Vous obtenez une équation qui équivaut à \((x;y)\) solution de \((E)\) !
Question 6
Déduire de la question précédente trois nouvelles solutions.
\((1; 1)\) est solution donc \((1; 2)\) est solution.
\((2; 3)\) et \((5; 8)\) sont deux solutions distinctes de \((1; 1)\) donc \((3; 5)\) et \((8; 13)\) sont également solutions.
Avez-vous utilisé les 3 couples trouvés à la question 5 ?
D’après la question précédente, chacun de ces couples donne deux autres solutions.