Fiche de cours
Théorèmes de Bezout et Gauss
Définition
Deux entiers sont premiers entre eux lorsque leur PGCD vaut $1$.
Théorème de Bezout
Soient $a$ et $b$, deux entiers naturels non nuls.
Si on note $d=PGCD(a;b)$, alors il existe 2 entiers relatifs $u$ et $v$ tels que :
$au+bv=d$
$a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement si :
$au+bv=1$.
Exemple
Montrer que (2n + 1) et (3n + 2) sont premiers entre eux $\forall n \in \mathbb{N}$.
Il s'agit de trouver des coefficients $u$ et $v$ pour que
$u(2n + 1) + v(3n + 2) = 1$.
On choisit astucieusement $u$ et $v$ pour faire disparaître les termes en $n$.
$-3(2n + 1) + 2(3n + 2) = -6n - 3 + 6n + 4 = 1$
$\forall n \in \mathbb{N}$, il existe $u = -3$ et $v = 2$ tel que
$u(2n + 1) + v(3n + 2) = 1$.
Les entiers $(2n + 1)$ et $(3n + 2)$ sont donc premiers entre eux.
Théorème de Gauss
Soient $a$, $b$ et $c$, trois entiers relatifs non nuls.
Si $a$ divise $bc$ et si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $a$ divise $c$.
Exemple
Trouver (s'ils existent) les couples $(x;y)$ d'entiers solutions de l'équation : $5(x - 1) = 7y$.
5 divise $7y$, or $PGCD(5;7) = 1$, donc d'après le