L'énoncé
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Question 1
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi géométrique de paramètre $p$,
Soit $k$ un entier naturel non nul,
Que vaut $P(X = k)$ ?
$P(X = k) = p^k$
$P(X = k) = p^{k-1}(1-p)$
$P(X = k) = p(1-p)^{k-1}$
On pourra revoir la vidéo du cours si besoin .
Question 2
Lors d'une partie d'échec, Louis a 0,5% de chance de gagner face à l'ordinateur.
Quelle est la probabilité qu'il gagne au bout de $15$ parties ?
$3.05 \times 10^{-5}$
$4.64 \times 10^{-3}$
$4.65 \times 10^{-3}$
En effet, 0,5% de chances correspond à une probabilité de succès de $p = 0.005$. On suppose que chaque partie est indépendante. On appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de parties nécessaires avant de gagner.
$X$ suit une loi géométrique.
$P(X = 15) = 0.005 \times (1 - 0.005)^{15-1} = 4.65 \times 10^{-3}$
On se demandera si cette situation peut se modéliser à l'aide d'une variable aléatoire suivant une loi géométrique
Question 3
Lors d'une partie d'échec, Louis a 0,5% de chance de gagner face à l'ordinateur.
Quelle est la probabilité qu'il gagne en moins de $5$ parties ?
$2,48 \times 10^{-2}$
On veut calculer la probabilité que Louis gagne en moins de $5$ parties, ce qui correspond à $P(X \leq 5)$.
Or $P(X \leq 5) = P(X =1) + P(X =2) +P(X =3) +P(X =4) +P(X =5) = 2,48 \times 10^{-2}$
$9.69 \times 10^{-2}$
$4.90 \times 10^{-3}$
On peut remarquer que cela revient à calculer $P(X \leq 5)$
Question 4
Lors d'une partie d'échec, Louis a 0,5% de chance de gagner face à l'ordinateur.
Combien de parties en moyenne devra-t-il jouer pour espérer gagner face à l'ordinateur ?
$2$
$200$
On souhaite connaitre le nombre de parties en moyenne qu'il devra jouer pour espérer gagner face à l'ordinateur. Cela correspond en fait à calculer l'espérance de $X$ qui suit une loi géométrique de paramètre $p =0.005$.
Ainsi $E(X) = \dfrac{1}{0.005} = 200$.
Il doit donc jouer $200$ parties.
$2000$
On pourra calculer l'espérance de $X$
Question 5
Sachant qu'une partie dure en moyenne 60 minutes, combien de temps Louis doit-il jouer en moyenne pour espérer gagner contre l'ordinateur ?
On supposera qu'il a 0,5% de chance de gagner face à l'ordinateur.
200 H
D'après la question précédente, il doit jouer en moyenne $200$ parties. Chaque partie durant 60 minutes, soit 1 h, cela correspond à 200 H de jeu.
12 000 minutes
D'après la question précédente, il doit jouer en moyenne $200$ parties. Chaque partie durant 60 minutes, il doit donc jouer pendant $200 \times 60 = 12 000$ minutes
2000 H
On utilisera le résultat de la question précédente.
En effet, on cherche la probabilité que la $k$ième répétition soit le premier succès. Cela signifie donc qu'il y a eu $k-1$ échecs avant.