Fiche de cours
Loi géométrique
Définition :
On considère une épreuve de Bernoulli, qui est une épreuve possédant deux issues possibles (succès ou échec), dont la probabilité du succès vaut $p$.
Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre d'essais nécessaires jusqu'au premier succès.
On dit que $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p$ et
$P(X = k) = p(1-p)^{k-1}$ pour $k$ entier naturel non nul.
On explique cette formule par le fait que l'on doit avoir $k - 1$ échecs pour obtenir le premier succès lors du $k$ essais.
Or la probabilité d'un échec vaut $1 - p$ et il n'existe qu'un chemin pour obtenir $k-1$ échecs puis un succès.
Propriété :
L'espérance vaut :
$E(X) = \dfrac{1}{p}$
Exemple :
A l'entrainement au tennis, Nadal réussit $67$ % de ses premiers services en moyenne.
Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de services réalisés pour réussir son premier service.
1) Justifier que $X$ suit une loi géométrique et donner son paramètre
2) Déterminer la probabilité qu'il ait besoin de 2 essais ou