L'énoncé
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Question 1
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur $\{0, ..., n \}$,
Soit $k \in \{0, ..., n \}$, que vaut $P(X = k)$ ?
$\dfrac{1}{k}$
$\dfrac{1}{n}$
$\dfrac{1}{n+1}$
On se demandera combien de valeurs différentes peut prendre $k$.
Question 2
Quelle variable aléatoire suit une loi uniforme ?
(La dernière valeur est intentionnellement laissée vide).
| $X = k$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| $P(X = k)$ | 0.2 | 0.2 | 0.2 | ? |
En effet, $P(X = 1) + ... + P(X = 4) = 1 \iff 0.2 + 0.2 + 0.2 + P(X = 5) = 1 \iff P(X = 4) = 0.4$.
Donc $X$ ne suit pas une loi uniforme.
| $X = k$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| $P(X = k)$ | 0.2 | 0.2 | 0.2 | 0.2 | ? |
En effet, $P(X = 1) + ... + P(X = 5) = 1 \iff 0.2 + 0.2 + 0.2 + 0.2 + P(X = 5) = 1 \iff P(X = 5) = 0.2$.
Ainsi, $X$ suit une loi uniforme.
| $X = k$ | 1 | 2 | 3 |
| $P(X = k)$ | 0.3 | 0.3 | ? |
En effet, $P(X = 1) + ... + P(X = 3) = 1 \iff 0.3 + 0.3 + P(X = 3) = 1 \iff P(X = 3) = 0.4$
Donc $X$ ne suit pas une loi uniforme.
On pourra se rappeler que $P(X = 1)+...+P(X = n) = 1$
Question 3
Une élève regarde entre 1 et 7 films par mois de manière équiprobable. Combien de films regarde-t-elle en moyenne par an ?
$52$
$42$
$48$
En effet la variable aléatoire $X$ associée au nombre de films visionnés en un mois suit une loi uniforme. Ainsi $E(X) = \dfrac{7+1}{2} = 4$. Elle regarde en moyenne $4$ films par mois.
Elle regarde donc en 1 an $4 \times 12 = 48$ films.
On commencera par se demander si on peut représenter cette situation à l'aide d'une loi uniforme...
... puis on calculera son espérance
Question 4
Quelle expérience peut être modélisée à l'aide d'une loi uniforme ?
On tire au hasard une boule dans une urne en contenant $30$ numérotées de $1$ à $30$ et on note son numéro.
En effet, le tirage de chaque boule est équiprobable et $P(X = k) = \dfrac{1}{30}$
On tire au hasard une boule dans une urne en contenant $30$ dont $15$ valent 1, $12$ valent 2 et $3$ valent 3 et on note le chiffre obtenu.
On tire au hasard une boule dans une urne en contenant $30$ dont $10$ sont rouges et $10$ sont bleues, le reste étant jaune. On se demande la probabilité d'obtenir une boule rouge.
En effet, chaque couleur a une probabilité d'apparition de $\dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3}$
Calculer la probabilité de chaque événement.
Question 5
Que vaut $n$ si $X$ suit une loi uniforme sur $\{1, ..., n \}$ et que $E(X) =5$ ?
$10$
$9$
En effet, $E(X) = 5 = \dfrac{n+1}{2}$.
Ainsi, $n + 1 = 10 \iff n = 9$
Donc $X$ suit une loi uniforme sur $\{1,... 9 \}$
$4$
On se rappellera l'expression de l'espérance d'une variable suivant une loi uniforme en fonction de $n$.
En effet, $P(X = 0)+P(X=1)+...+P(X=n) = 1$.
Or $P(X = 0) = P(X=1) = P(X=n) = P(X = k)$ pour tout $k \in \{0, ..., n \}$.
Finalement,
$P(X = 0)+P(X=1)+...+P(X=n) = 1$
$ \iff (n+1) P(X = k) = 1$
$ \iff P(X = k) = \dfrac{1}{n+1}$