Exercice - Primitives et fonctions puissances

Une primitive sur \(\mathbb{R}\) de \(f(x) = 3x^4\) est \(F(x)=\dfrac{3x^5}{5}\)

Une primitive sur \(\mathbb{R}\) de \(f(x) = \dfrac{x^2}{5}\) est \(F(x)=\dfrac{x^3}{5\times 3}=\dfrac{x^3}{15}\)

Une primitive sur \(\mathbb{R^*}\) de \(f(x) = \dfrac{1}{x^3}\) est : \(F(x)=-\dfrac{1}{2x^2}\)

Une primitive sur \(\mathbb{R^*}\) de \(f(x) = -\dfrac{3}{x^4}\) est \(F(x)=\dfrac{-3}{-3x^3}=\dfrac{1}{x^3}\)

Une primitive sur \(\mathbb{R}\) de \(f(x) = (2x - 1)^4\) est : \(F(x)=\dfrac{(2x-1)^5}{10}\)

Point méthode :
Ici, on ne peut pas déterminer une primitive directement. La solution est de faire apparaître une expression de la forme \(u'(x) \times u(x)^n\).

Pour \(u(x)\), pas de problème, on prend \(2x - 1\). La dérivée est \(u'(x) = 2\).
On doit donc écrire \(f(x) = \dfrac{1}{2}\times 2\times (2x-1)^4\) pour garder l'expression initiale.
On a donc \(f(x) = \frac{1}{2}\times u'(x)\times u(x)^4\).
On sait que \(u' (x)\times u(x)^n\) a pour primitive \(\dfrac{1}{n+1}\times u(x)^{n+1}\).
On peut en conclure qu'une primitive de \(f(x)\) s'écrit de la forme :
\(F(x) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{5} \times (2x - 1)^5\) soit :

\(F(x) = \dfrac{(2x-1)^5}{10}\).

Une primitive sur \(\mathbb{R}\) de \(f(x) = 4(1-3x)^2\) est : \(F(x)=\dfrac{4(1-3x)^3}{-9}\)

Point méthode :
Ici, encore on ne peut pas déterminer une primitive directement. La solution est de faire apparaître une expression de la forme \(u'(x) \times u(x)^n\).

Pour \(u(x)\), pas de problème, on prend \(1-3x\). La dérivée est \(u'(x) = -3\).
On doit donc écrire \(f(x) = -\dfrac{1}{3}\times (-3)\times 4(1-3x)^2\) pour garder l'expression initiale.
On a donc \(f(x) = -\dfrac{1}{3}\times u'(x)\times 4 \times u(x)^2\).
On sait que \(u' (x)\times u(x)^n\) a pour primitive \(\dfrac{1}{n+1}\times u(x)^{n+1}\).
On peut en conclure qu'une primitive de \(f(x)\) s'écrit de la forme :
\(F(x) = -\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3} \times 4(1-3x)^3\) soit

\(F(x) = \dfrac{4(1-3x)^3}{-9}\).

Une primitive sur \(\mathbb{R}\backslash\left\{-\dfrac{1}{2}\right\}\) de \(f(x) = \dfrac{1}{(2x+1)^2}\) est : \(F(x)=\dfrac{1}{-2(2x+1)}\)

Point méthode :
Ici, encore on ne peut pas déterminer une primitive directement. La solution est de faire apparaître une expression de la forme \(u'(x) \times u(x)^n\).
Mais pour ne pas s'emmêler les pinceaux avec les fractions, nous allons utiliser le fait que \(\dfrac{1}{u(x)^n} = u(x)^{-n}\).
Pour \(u(x)\), pas de problème, on prend \(2x + 1\). La dérivée est \(u'(x) = 2\).
On peut donc écrire \(f(x) = \dfrac{1}{2} \times 2 \times (2x + 1)^{-2}\) pour garder l'expression initiale.
On a donc \(f(x) = \dfrac{1}{2}\times u'(x) \times u(x)^{-2}\).
On sait que \(u' (x)\times u(x)^n\) a pour primitive \(\dfrac{1}{n+1}\times u(x)^{n+1}\).
On peut en conclure qu'une primitive de \(f(x)\) s'écrit de la forme :
\(F(x) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{-1} \times (2x + 1)^{-1}\) soit

\(F(x) =\dfrac{1}{-2(2x+1)}\).

Une primitive sur \(\mathbb{R}\backslash\left\{-2\right\}\) de \(f(x) = \dfrac{2}{3(2x-4)^4}\) est  \(F(x)=\dfrac{2}{3\times (-3)\times 2(2x-4)^3}=\dfrac{1}{-9(2x-4)^3}\).zz

Point méthode :
Ici, encore on ne peut pas déterminer une primitive directement. La solution est de faire apparaître une expression de la forme \(u'(x) \times u(x)^n\).
Mais pour ne pas s'emmêler les pinceaux avec les fractions, nous allons utiliser le fait que \( \dfrac{1}{u(x)^n} = u(x)^{-n}\).
Pour \(u(x)\), pas de problème, on prend \(2x -4\). La dérivée est \(u'(x) = 2\).
On peut donc écrire \(f(x) = \dfrac{1}{3} \times 2(2x -4)^{-4}\) pour garder l'expression initiale.
On a donc \(f(x) = \dfrac{1}{3}\times u'(x) \times u(x)^{-4}\).
On sait que \(u' (x)\times u(x)^n\) a pour primitive \(\dfrac{1}{n+1}\times u(x)^{n+1}\).
On peut en conclure qu'une primitive de \(f(x)\) s'écrit de la forme :
\(F(x) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{(-4+1)} \times (2x + 1)^{-3}\) soit

\(F(x) =\dfrac{1}{-9(2x-4)^3}\).