L'énoncé
Déterminer une primitive sur \(\mathbb{R}\) de chacune des fonctions suivantes :
Question 1
Déterminer une primitive sur \(\mathbb{R}\) de \(f : x\mapsto 0\)
Une primitive sur \(\mathbb{R}\) de \(f : x\mapsto 0\) est par exemple:
\(F : x\mapsto 4\)
La primitive de 0 est une constante.
D’une manière générale, les primitives de \(f\) sont \(x : \mapsto \lambda\) où \(\lambda \in \mathbb{R}\)
Question 2
Déterminer une primitive sur \(\mathbb{R}\) de \(g : x\mapsto 2\)
Une primitive de \(g : x\mapsto 2\) est :
\(G : x\mapsto 2x\)
Une primitive de \(k\) est \(kx\)
Question 3
Déterminer une primitive sur \(\mathbb{R}\) de \(h : x\mapsto x^5\).
Une primitive de \(h : x\mapsto x^5\) est :
\(H : x\mapsto \dfrac{1}{6}x^6\)
\(x^n\) a pour primitive \(\dfrac{1}{n+1}\times x^{n+1}\)
Question 4
Déterminer toutes les primitives sur \(\left]0;+\infty\right[\) de \(i : x\mapsto \dfrac{1}{x^2}\)
Les primitives de \(i : x\mapsto \dfrac{1}{x^2}\) sont
\(I : x\mapsto -\dfrac{1}{x}+\lambda\) où \(\lambda \in \mathbb{R}\)
Notez que \(\dfrac{1}{x^n} = x^{-n}\) pour \(n\) entier relatif et \(x\) non nul.
\(x^n\) a pour primitive \(\dfrac{1}{n+1}\times x^{n+1}\) pour \(n\) entier relatif.
Question 5
Déterminer toutes les primitives sur \(\left]0;+\infty\right[\) de \(j : x\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}}\)
Les primitives de \(j : x\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}}\) sont :
\(J : x \mapsto 2\sqrt{x}+\lambda\) où \(\lambda \in \mathbb{R}\)
\(\sqrt{x}=x^{\dfrac{1}{2}}\) pour \(x\geq0\)
Ainsi : \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}=\)?
Question 6
Déterminer deux primitives sur \(\mathbb{R}\) de la fonction \(f : x\mapsto 2x^3 + 3x - 1\)
Deux primitives sur \(\mathbb{R}\) de la fonction \(f\) sont par exemple :
\(F_1 : x\mapsto \dfrac{1}{2}x^4 + \dfrac{3}{2}x^2 - x + 2\)
Et : \(F_2 : x\mapsto \dfrac{1}{2}x^4 + \dfrac{3}{2}x^2 - x + 18\)
Donnez une primitive de chacun des termes.
Pour obtenir deux primitives, il suffit de choisir deux constantes d’intégration différentes.